Exercício 3. Calcule a derivada:
f(x)=4 \operatorname{sec} x+\left(3 x^{2}+2\right) \cot x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=4\operatorname{sec} x + \bigl(3x^{2}+2\bigr)\cot x.
O conteúdo envolve derivação de funções trigonométricas e aplicação da regra do produto. Vamos usar:
\displaystyle\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sec} x\bigr]=\operatorname{sec} x\tan x
\displaystyle\frac{d}{dx}\bigl[\cot x\bigr]=-\csc^{2}x
– Regra do produto: \displaystyle\frac{d}{dx}[u\,v]=u'\,v+u\,v'.

Passo 2

Derivando o primeiro termo 4\operatorname{sec} x, que é uma constante vezes \operatorname{sec} x:
\frac{d}{dx}\bigl[4\operatorname{sec} x\bigr] =4\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sec} x\bigr] =4\operatorname{sec} x\tan x.

Passo 3

Derivando o segundo termo \bigl(3x^{2}+2\bigr)\cot x pela regra do produto.
Defina u=3x^{2}+2 e v=\cot x. Então
u'=6x, \qquad v'=-\csc^{2}x.
Logo,
\frac{d}{dx}\bigl[u\,v\bigr] = u'\,v + u\,v' = 6x\cot x + (3x^{2}+2)\bigl(-\csc^{2}x\bigr).

Passo 4

Somando as derivadas dos dois termos, obtemos
f'(x) =4\operatorname{sec} x\tan x + 6x\cot x - (3x^{2}+2)\csc^{2}x.

Resposta

f'(x)=4\operatorname{sec} x\tan x + 6x\cot x - (3x^{2}+2)\csc^{2}x.

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