Exercício 4. Calcule as seguintes derivadas
f(x)=e^{4 x^{3}+\cos x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x) = e^{4x^{3} + \cos x}.
Aqui vamos usar a regra da cadeia, que diz que se f(x)=e^{u(x)}, então
f'(x)=e^{u(x)}\,u'(x).

Passo 2

Definimos a parte interna da exponencial como
u(x) = 4x^{3} + \cos x.
Agora calculamos a derivada de u:
u'(x) = \frac{d}{dx}(4x^{3}) + \frac{d}{dx}(\cos x) = 12x^{2} - \sin x.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para f(x)=e^{u(x)}, obtemos
f'(x) = e^{u(x)} \, u'(x).

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) na expressão acima, ficamos com
f'(x) = e^{4x^{3} + \cos x}\,\bigl(12x^{2} - \sin x\bigr).

Resposta

f'(x) = (12x^{2} - \sin x)\,e^{4x^{3} + \cos x}.

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