Exercício 4. Calcule as seguintes derivadas
f(x)=\sin \left(e^{x}+x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sin\bigl(e^{x}+x^{2}\bigr).
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, pois temos uma composição de funções: seno de uma função interna u(x).

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=e^{x}+x^{2}.

Passo 3

Pela regra da cadeia, a derivada de \sin(u(x)) é
f'(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr)\,\cdot u'(x).

Passo 4

Calculamos u'(x). Como \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x} e \frac{d}{dx}x^{2}=2x, temos
u'(x)=e^{x}+2x.

Passo 5

Substituindo u(x) e u'(x) em f'(x), obtemos
f'(x)=\cos\bigl(e^{x}+x^{2}\bigr)\,\bigl(e^{x}+2x\bigr).

Resposta

f'(x)=(e^{x}+2x)\,\cos\bigl(e^{x}+x^{2}\bigr).

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