Exercício 1. Calcule a derivada das funções abaixo:
f(x)=\frac{\operatorname{sen}(\ln x)}{\cos \left(e^{x}\right)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\operatorname{sen}(\ln x)}{\cos\bigl(e^x\bigr)}.
O conteúdo aqui é derivação de funções compostas e a aplicação da regra do quociente. Vamos precisar usar a regra da cadeia para derivar \operatorname{sen}(\ln x) e \cos(e^x), e em seguida montar a regra do quociente.

Passo 2

Definimos
u(x)=\operatorname{sen}(\ln x), \quad v(x)=\cos\bigl(e^x\bigr),
de modo que
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}.

Passo 3

Derivamos u(x) usando a regra da cadeia. A derivada de \operatorname{sen}(t) é \cos(t) e a de t=\ln x é \tfrac1x. Logo,
u'(x) =\cos(\ln x)\,\frac{1}{x}.

Passo 4

Derivamos v(x) também pela regra da cadeia. A derivada de \cos(t) é -\sin(t) e a de t=e^x é e^x. Portanto,
v'(x) =-\sin\bigl(e^x\bigr)\,e^x.

Passo 5

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl[v(x)\bigr]^2} =\frac{\displaystyle\frac{\cos(\ln x)}{x}\,\cos(e^x) -\operatorname{sen}(\ln x)\,\bigl(-\sin(e^x)\,e^x\bigr)}{\cos^2(e^x)}.
Eliminando os sinais duplos:
f'(x) =\frac{\frac{\cos(\ln x)\cos(e^x)}{x} +e^x\,\operatorname{sen}(\ln x)\,\sin(e^x)}{\cos^2(e^x)}.

Resposta

f'(x) =\frac{\frac{\cos(\ln x)\,\cos\bigl(e^x\bigr)}{x} +e^x\,\operatorname{sen}(\ln x)\,\sin\bigl(e^x\bigr)}{\cos^2\bigl(e^x\bigr)}.

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