Exercício 1. Calcule a derivada das funções abaixo:
f(x)=e^{\cos x} \cos \left(e^{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^{\cos x}\,\cos\bigl(e^x\bigr).
Aqui vamos usar duas ferramentas principais do cálculo diferencial de funções de variável real:
  1. A regra do produto, pois f(x) é o produto de g(x)=e^{\cos x} por h(x)=\cos\bigl(e^x\bigr).
  2. A regra da cadeia, para derivar cada um desses fatores que são composições de funções elementares.

Passo 2

Definimos
g(x)=e^{\cos x}, \qquad h(x)=\cos\bigl(e^x\bigr).
Pela regra do produto,
f'(x)=g'(x)\,h(x)+g(x)\,h'(x).
Agora vamos achar g'(x) e h'(x) separadamente.

Passo 3

Para derivar
g(x)=e^{\cos x}
aplicamos a regra da cadeia: a derivada da exponencial é ela mesma vezes a derivada do expoente. Assim, como \dfrac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x, temos
g'(x) =e^{\cos x}\,\bigl(-\sin x\bigr) =-e^{\cos x}\,\sin x.

Passo 4

Para derivar
h(x)=\cos\bigl(e^x\bigr)
novamente usamos regra da cadeia: a derivada de \cos(u) é -\sin(u)\cdot u'. Aqui u=e^x e u' = e^x. Logo
h'(x) =-\sin\bigl(e^x\bigr)\cdot e^x =-e^x\,\sin\bigl(e^x\bigr).

Passo 5

Aplicando a regra do produto
f'(x) =g'(x)\,h(x)+g(x)\,h'(x) =\bigl(-e^{\cos x}\sin x\bigr)\,\cos\bigl(e^x\bigr) +e^{\cos x}\,\bigl(-e^x\sin\bigl(e^x\bigr)\bigr).
Podemos fatorar e^{\cos x} e o sinal negativo comum:
f'(x) =e^{\cos x}\,\bigl(-\sin x\cos\bigl(e^x\bigr)-e^x\sin\bigl(e^x\bigr)\bigr).

Resposta

f'(x) =e^{\cos x}\,\bigl(-\sin x\cos\bigl(e^x\bigr)-e^x\sin\bigl(e^x\bigr)\bigr).

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