Exercício 1. Calcule a derivada das funções abaixo:
f(x)=\ln \left(x^{6}\right) \sqrt{x^{3}+x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\ln\bigl(x^{6}\bigr)\,\sqrt{x^{3}+x}.
Aqui vamos usar as regras de derivada de logaritmo, de potência (raiz) e, principalmente, a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão: \ln\bigl(x^{6}\bigr)=6\ln x e \sqrt{x^{3}+x}=(x^{3}+x)^{\tfrac12}.
Logo podemos reescrever
f(x)=6\ln x\;\bigl(x^{3}+x\bigr)^{\tfrac12}.

Passo 3

Vamos aplicar a regra do produto. Definimos
u(x)=6\ln x, \quad v(x)=(x^{3}+x)^{\tfrac12}.
Então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 4

Calculamos cada derivada:
u'(x)=6\cdot\frac{1}{x}=\frac{6}{x}, \qquad v'(x)=\frac12\,(x^{3}+x)^{-\tfrac12}\cdot(3x^{2}+1) =\frac{3x^{2}+1}{2\sqrt{x^{3}+x}}.

Passo 5

Substituindo em f'(x)=u'v+uv'
f'(x) =\frac{6}{x}\,\sqrt{x^{3}+x} +6\ln x\;\frac{3x^{2}+1}{2\sqrt{x^{3}+x}}.
Para juntar tudo num único quociente, colocamos num denominador comum 2x\sqrt{x^{3}+x}. Isso leva a
f'(x) =\frac{12(x^{3}+x)+6x\ln x\,(3x^{2}+1)}{2x\sqrt{x^{3}+x}}.
Fatorando e simplificando acaba-se obtendo
f'(x) =\frac{\ln x\,(3x^{2}+1)+2(x^{2}+1)}{\sqrt{x^{3}+x}}.

Resposta

f'(x)=\frac{\ln x\,(3x^{2}+1)+2(x^{2}+1)}{\sqrt{x^{3}+x}}.

Exercícios relacionados