Use diferenciação logarítmica para achar a derivada da função.
f(x)=\left(x^{3}-2 x\right)^{\ln x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=(x^3-2x)^{\ln x} usando diferenciação logarítmica.
Aqui o conteúdo é derivação de função na forma g(x)^{h(x)}, e vamos precisar de:
  1. identificar o domínio (para ter base positiva e \ln x definido, precisamos de x>0 e x^3-2x>0, ou seja x>\sqrt2);
  2. tomar logaritmo de ambos os lados;
  3. usar regra do produto e regra da cadeia;
  4. voltar para f'(x).

Passo 2

Definimos y=f(x). Tomando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
\ln y = \ln\bigl((x^3-2x)^{\ln x}\bigr) = (\ln x)\,\ln(x^3-2x).

Passo 3

Agora derivamos os dois lados em relação a x. No lado esquerdo, \frac{d}{dx}(\ln y)=\frac{y'}{y}. No direito usamos regra do produto:
\frac{y'}{y} = \frac{d}{dx}(\ln x)\,\ln(x^3-2x) + (\ln x)\,\frac{d}{dx}\bigl(\ln(x^3-2x)\bigr).
Calculando cada parte:
  • \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac1x.
  • \frac{d}{dx}\bigl(\ln(x^3-2x)\bigr) = \frac{1}{x^3-2x}\,(3x^2-2). Portanto
\frac{y'}{y} = \frac{1}{x}\,\ln(x^3-2x) + \ln x \,\frac{3x^2-2}{x^3-2x}.

Passo 4

Isolando y', multiplicamos ambos os lados por y:
y' = y \,\biggl(\frac{\ln(x^3-2x)}{x} + \ln x \,\frac{3x^2-2}{x^3-2x}\biggr).
Como y=(x^3-2x)^{\ln x}, fica

Resposta

f'(x)=(x^3-2x)^{\ln x}\!\Bigl(\tfrac{\ln(x^3-2x)}{x}+\ln x\,\tfrac{3x^2-2}{x^3-2x}\Bigr),\quad x>\sqrt2.

Exercícios relacionados