Exercício 9 Calcule a derivada das funções a seguir
f(x)=\frac{x^{4} \cos \left(e^{x}\right)}{1-x^{2}}\

Passo 1

Beleza, o enunciado pede a derivada de f(x). A função é
f(x) = \frac{x^4 \cos\bigl(e^x\bigr)}{1 - x^2}.
Para resolver isso, vamos usar a regra do quociente, do produto e da cadeia.

Passo 2

Seja o numerador
N(x) = x^4 \cos\bigl(e^x\bigr)
e o denominador
D(x) = 1 - x^2.
Precisamos de N'(x) e D'(x) para aplicar a regra do quociente.

Passo 3

Para N(x) = x^4 \cos\bigl(e^x\bigr) usamos a regra do produto. A derivada de x^4 é 4x^3 e, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\cos\bigl(e^x\bigr) = -\sin\bigl(e^x\bigr)\cdot e^x.
Logo,
N'(x) =4x^3\cos\bigl(e^x\bigr) - x^4 e^x \sin\bigl(e^x\bigr).

Passo 4

Para D(x) = 1 - x^2 temos
D'(x) = -2x.

Passo 5

Pela regra do quociente,
f'(x) = \frac{N'(x)\,D(x) - N(x)\,D'(x)}{D(x)^2}.
Substituindo N, N', D, D', fica
f'(x) = \frac{\bigl(4x^3\cos(e^x)-x^4e^x\sin(e^x)\bigr)(1-x^2) - x^4\cos(e^x)\,(-2x)}{(1-x^2)^2}.

Passo 6

Agora simplificamos o numerador. O segundo termo vira +2x^5\cos(e^x). Fatorando x^3 e agrupando termos de \cos(e^x), obtemos
f'(x) = \frac{x^3\Bigl[(4-2x^2)\cos(e^x) - x(1-x^2)e^x\sin(e^x)\Bigr]}{(1-x^2)^2}.

Resposta

f'(x) = \frac{x^3\bigl[(4-2x^2)\cos(e^x) - x(1-x^2)e^x\sin(e^x)\bigr]}{(1-x^2)^2}.

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