Exercício 8 Calcule g^{\prime}(x) onde g(x) é igual a
x^{2} \ln x+2 e^{x} \cos x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x) = x^{2}\ln x \;+\; 2e^{x}\cos x.
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas, usando a regra da soma, a regra do produto e as derivadas básicas:
\bigl(\ln x\bigr)' = \tfrac1x
\bigl(e^{x}\bigr)' = e^{x}
\bigl(\cos x\bigr)' = -\sin x.

Passo 2

Derivando o termo x^{2}\ln x por produto: seja u(x)=x^{2} e v(x)=\ln x. Então
\bigl(x^{2}\ln x\bigr)' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x) = 2x\ln x + x^{2}\cdot\frac1x = 2x\ln x + x.

Passo 3

Derivando o termo 2e^{x}\cos x: o fator 2 sai como constante, e aplicamos produto em e^{x}\cos x:
\bigl(e^{x}\cos x\bigr)' = (e^{x})' \cos x + e^{x}(\cos x)' = e^{x}\cos x + e^{x}(-\sin x) = e^{x}\bigl(\cos x - \sin x\bigr).
Multiplicando por 2 resulta
\bigl(2e^{x}\cos x\bigr)' = 2e^{x}\bigl(\cos x - \sin x\bigr).

Passo 4

Usando a regra da soma, somamos as derivadas obtidas:
g'(x) = \bigl(x^{2}\ln x\bigr)' + \bigl(2e^{x}\cos x\bigr)' = \bigl(2x\ln x + x\bigr) + 2e^{x}\bigl(\cos x - \sin x\bigr).

Resposta

g'(x) = 2x\ln x + x + 2e^{x}\bigl(\cos x - \sin x\bigr).

Exercícios relacionados