Exercício 9 Calcule a derivada das funções a seguir
f(x)=\operatorname{sen}\left(x^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de \displaystyle f(x)=\operatorname{sen}\bigl(x^{3}\bigr).
O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia, pois temos uma função “externa” \operatorname{sen}(\cdot) composta com uma função “interna” x^{3}.

Passo 2

Definimos a parte interna e a externa separadamente:
- Função interna: u(x)=x^{3}.
- Função externa: v(u)=\operatorname{sen}(u).
Para aplicar a regra da cadeia, precisamos de u'(x) e de v'(u).

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada parte:
- Derivada da parte interna:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}.
- Derivada da parte externa em função de u:
v'(u)=\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{sen}(u)\bigr)=\cos(u).

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, que diz
\frac{d}{dx}v\bigl(u(x)\bigr)=v'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x),
temos
f'(x) = v'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) = \cos\bigl(u(x)\bigr)\cdot 3x^{2} = 3x^{2}\,\cos\bigl(x^{3}\bigr).

Resposta

f'(x)=3x^{2}\,\cos\bigl(x^{3}\bigr).

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