Exercício 0.3 Calcule a derivada das funções a seguir:
j(t)=raizsen(t)+11-sen(t).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função j(t)=raizdfracsen(t)+11-sen(t). Vamos usar regras de derivada, em especial a regra da cadeia, a regra do quociente e a derivada de sen(t).

Passo 2

Para simplificar a aplicação da regra da cadeia, definimos a função interna u(t)=dfracsen(t)+11-sen(t) e a função externa h(u)=raizu=u^1/2, de modo que j(t)=h(u(t)).
Aplicando a regra da cadeia, obtemos j'(t)=h'(u(t))cdot u'(t). Como h(u)=u^1/2, temos h'(u)=12u^-1/2=12raizu.

Passo 3

Para calcular u'(t), usamos a regra do quociente em u(t)=dfracN(t)D(t) com N(t)=sen(t)+1 e D(t)=1-sen(t). Então
u'(t)=N'(t)D(t)-N(t)D'(t)[D(t)]^2 = cos(t),(1-sen(t)) - (sen(t)+1)(-cos(t))(1-sen(t))^2 = 2cos(t)(1-sen(t))^2

Passo 4

Substituindo em j'(t)=tfrac12raizu(t)cdot u'(t) e simplificando, obtemos
j'(t)=12raizsen(t)+11-sen(t)cdot2cos(t)(1-sen(t))^2 = cos(t)(1-sen(t))^3/2,(1+sen(t))^1/2

Resposta

j'(t)=cos(t)(1-sen(t))^3/2,(1+sen(t))^1/2

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