Exercício 0.3 Calcule a derivada das funções a seguir:
j(t)=(2 t+13 t-1)^4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função j(t)=l(tfrac2t+13t-1r)^4. O conteúdo envolve derivada de função composta e derivada de quociente, então vamos precisar da regra da cadeia e da regra do quociente.

Passo 2

Vamos chamar a parte interna de u(t)=2t+13t-1. Para encontrar u'(t) usamos a regra do quociente, que diz que se u(t)=tfracf(t)g(t) então
u'(t)=g(t)f'(t)-f(t)g'(t)[g(t)]^2

Passo 3

Identificando f(t)=2t+1 e g(t)=3t-1, temos:
f'(t)=2,
g'(t)=3
Logo,
u'(t)=(3t-1)cdot 2 - (2t+1)cdot 3(3t-1)^2 = 6t-2 -6t-3(3t-1)^2 = -5(3t-1)^2

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para j(t)=[u(t)]^4. A regra da cadeia diz que
j'(t)=4,[u(t)]^3 cdot u'(t)
Substituindo u(t) e u'(t):
j'(t)=4(2t+13t-1)^3 cdot (-5(3t-1)^2)

Passo 5

Basta simplificar multiplicando os fatores:
j'(t)=-20,(2t+1)^3(3t-1)^5

Resposta

j'(t) = -20,dfrac(2t+1)^3(3t-1)^5

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