Exercício 0.3 Calcule a derivada das funções a seguir:
j(x)=[2 x+1x+5 cdot(3 x-1)].

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função j(x)=2x+1x+5,(3x-1) e precisamos encontrar j'(x) usando as regras de derivação de produto e quociente.

Passo 2

Identificação das partes e regras: defina f(x)=2x+1x+5 e g(x)=3x-1. Vamos usar a regra do quociente para f'(x) e a derivada de função linear para g'(x).

Passo 3

Cálculo de f'(x) e g'(x): pela regra do quociente
f'(x)=2,(x+5)-(2x+1)cdot1(x+5)^2=2x+10-2x-1(x+5)^2=9(x+5)^2,
e como g(x)=3x-1 é linear, temos g'(x)=3.

Passo 4

Aplicação da regra do produto:
j'(x)=f'(x),g(x)+f(x),g'(x)=9(x+5)^2(3x-1)+2x+1x+5cdot3

Passo 5

Pôr tudo sobre o mesmo denominador (x+5)^2 e simplificar o numerador:
9(3x-1)+(6x+3)(x+5)(x+5)^2=27x-9+6x^2+33x+15(x+5)^2=6x^2+60x+6(x+5)^2=6(x^2+10x+1)(x+5)^2

Resposta

j'(x)=6,(x^2+10x+1)(x+5)^2

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