Exercício 7. Calcule as derivadas das funções abaixo:
f(x)=\int_{1}^{x} \frac{2}{\sqrt{t^{2}+1}} d t

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\int_{1}^{x}\frac{2}{\sqrt{t^{2}+1}}\,dt
e pede f'(x). O conteúdo é o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona a derivada de uma integral com limite superior variável ao integrando.

Passo 2

Observamos que a função integranda
g(t)=\frac{2}{\sqrt{t^{2}+1}}
é contínua para todo t. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
F(x)=\int_{a}^{x}g(t)\,dt,
então
F'(x)=g(x).

Passo 3

Aplicando diretamente ao nosso caso, temos
f'(x)=\frac{2}{\sqrt{x^{2}+1}}.

Resposta

f'(x)=\frac{2}{\sqrt{x^{2}+1}}.

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