Exercício 8: Calcule as derivadas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
definida por
Informações dadas e importantes:
Observação sobre domínio: a função
só está definida para
. Portanto a expressão dada e sua derivada só fazem sentido para
.
Passo 2
Ferramentas que vamos usar (explicadas devagarinho):
- Regra do produto: se temos duas funções
e , a derivada do produto é
Aqui
significa a derivada de
em relação a
;
é a derivada de
em relação a
. A ideia intuitiva: o aumento do produto vem da soma do aumento de cada fator mantendo o outro fixo, numa aproximação linear.
- Derivada do logaritmo natural: para
,
Breve justificativa dessa fórmula: escrevendo
temos
. Diferenciando
em relação a
vem
. Invertendo obtemos
, que é justamente
.
Passo 3
Identificamos os fatores para aplicar a regra do produto:
Calculamos as derivadas dos fatores (passo a passo):
Passo 4
Aplicando a regra do produto:
Substituindo
que já achamos:
Agora simplificamos o segundo termo:
(para
; lembrando que estamos em
). Então
Passo 5
Interpretação final e exemplo rápido para fixar: a derivada é
. Por exemplo, em
temos
, então a inclinação da função
em
é
. Se você quiser generalizar, a mesma ideia (produto + derivada de
) serve para funções como
.