Exercício 8: Calcule as derivadas.
g(x)=x \ln (x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função g definida por
g(x)=x\ln(x).
Informações dadas e importantes:
\text{função: } g(x)=x\ln(x).çã
Observação sobre domínio: a função \ln(x) só está definida para x>0. Portanto a expressão dada e sua derivada só fazem sentido para x>0.

Passo 2

Ferramentas que vamos usar (explicadas devagarinho):
  1. Regra do produto: se temos duas funções u(x) e v(x), a derivada do produto é
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui u'(x) significa a derivada de u em relação a x; v'(x) é a derivada de v em relação a x. A ideia intuitiva: o aumento do produto vem da soma do aumento de cada fator mantendo o outro fixo, numa aproximação linear.
  1. Derivada do logaritmo natural: para x>0,
\frac{d}{dx}\big(\ln(x)\big)=\frac{1}{x}.
Breve justificativa dessa fórmula: escrevendo y=\ln(x) temos x=e^{y}. Diferenciando x em relação a y vem dx/dy=e^{y}=x. Invertendo obtemos dy/dx=1/x, que é justamente \big(\ln(x)\big)'.

Passo 3

Identificamos os fatores para aplicar a regra do produto:
u(x)=x,\qquad v(x)=\ln(x).
Calculamos as derivadas dos fatores (passo a passo):
u'(x)=\frac{d}{dx}(x)=1,
v'(x)=\frac{d}{dx}\big(\ln(x)\big)=\frac{1}{x}.

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo u,u',v,v' que já achamos:
g'(x)=1\cdot\ln(x)+x\cdot\frac{1}{x}.
Agora simplificamos o segundo termo: x\cdot\frac{1}{x}=1 (para x\neq0; lembrando que estamos em x>0). Então
g'(x)=\ln(x)+1.

Passo 5

Interpretação final e exemplo rápido para fixar: a derivada é \ln(x)+1. Por exemplo, em x=1 temos \ln(1)+1=0+1=1, então a inclinação da função x\ln(x) em x=1 é 1. Se você quiser generalizar, a mesma ideia (produto + derivada de \ln) serve para funções como x^n\ln(x).

Resposta

\ln(x)+1

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