Exercício 8: Calcule as derivadas.
g(x)=x^{2} \ln (x)

Passo 1

O enunciado dá a função g(x)=x^{2}\ln(x) e pede para calcular a derivada de g, ou seja, g'(x).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é g(x)=x^{2}\ln(x).
  • Como há \ln(x), o domínio natural onde a função está definida é x>0.

Passo 2

Quais regras de diferenciação vamos precisar? Vou explicar cada uma devagarinho.
  1. Regra do produto: se temos duas funções u(x) e v(x), a derivada do produto é
( u(x)\,v(x) )' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Isto significa: derive a primeira e multiplique pela segunda, depois some ao produto da primeira pela derivada da segunda.
2) Regra da potência (caso simples): para uma função x^{n} com n real,
\bigl(x^{n}\bigr)' = n\,x^{n-1}.
Aqui n é o expoente e x é a base; a regra diz que a derivada “desce” o expoente e reduz o expoente em 1.
3) Derivada do logaritmo natural: para x>0,
(\ln x)' = \frac{1}{x}.
Isto vale só para x>0 porque \ln x só está definido aí.

Passo 3

Identificamos as duas funções no produto: escolhemos
u(x)=x^{2}\quad\text{e}\quad v(x)=\ln(x).
Agora aplicamos as regras que explicamos:
  • Derivada de u: usando a regra da potência com n=2,
u'(x)=\bigl(x^{2}\bigr)'=2x.
  • Derivada de v: pela regra do logaritmo,
v'(x)=(\ln x)'=\frac{1}{x}.

Passo 4

Aplicando a regra do produto \bigl(u v\bigr)'=u'v+u v' com as derivadas acima, temos
g'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)=(2x)\,\ln(x)+x^{2}\cdot\frac{1}{x}.
Agora simplificamos o segundo termo: x^{2}\cdot\frac{1}{x}=x. Então
g'(x)=2x\ln(x)+x.

Passo 5

Podemos deixar a resposta um pouco mais compacta fatorando x em evidência:
g'(x)=x\bigl(2\ln(x)+1\bigr).
Lembrete importante: tudo vale para x>0, que é o domínio em que a função original está definida e onde usamos (\ln x)'=1/x.

Resposta

g'(x)=x\bigl(2\ln(x)+1\bigr),\;x>0

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