Exercício 8: Calcule as derivadas.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada de
, ou seja,
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é
. - Como há
, o domínio natural onde a função está definida é .
Passo 2
Quais regras de diferenciação vamos precisar? Vou explicar cada uma devagarinho.
- Regra do produto: se temos duas funções
e , a derivada do produto é
Isto significa: derive a primeira e multiplique pela segunda, depois some ao produto da primeira pela derivada da segunda.
2) Regra da potência (caso simples): para uma função com
real,
2) Regra da potência (caso simples): para uma função
Aqui
é o expoente e
é a base; a regra diz que a derivada “desce” o expoente e reduz o expoente em 1.
3) Derivada do logaritmo natural: para ,
3) Derivada do logaritmo natural: para
Isto vale só para
porque
só está definido aí.
Passo 3
Identificamos as duas funções no produto: escolhemos
Agora aplicamos as regras que explicamos:
- Derivada de
: usando a regra da potência com ,
- Derivada de
: pela regra do logaritmo,
Passo 4
Aplicando a regra do produto
com as derivadas acima, temos
Agora simplificamos o segundo termo:
. Então
Passo 5
Podemos deixar a resposta um pouco mais compacta fatorando
em evidência:
Lembrete importante: tudo vale para
, que é o domínio em que a função original está definida e onde usamos
.