Exercício 5: Calcule as derivadas das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas: a função é um polinômio monômio multiplicado por
. A tarefa é encontrar
, a derivada em função de
. Nada mais foi pedido.
Passo 2
O que é derivada (rapidamente, na prática da prova): a derivada
é a taxa de variação instantânea de
em relação a
. Formalmente usamos a definição pelo limite:
onde
é um incremento pequeno em
. Na prática, para polinômios existe uma regra simples (e rápida) — a regra da potência — que facilita muito o cálculo sem precisar fazer esse limite toda vez. Vou explicar essa regra e também mostrar rapidamente como ela vem da definição por limite, para você entender e lembrar melhor.
Passo 3
Regra que vamos usar (e explicar): regra da potência e regra do fator constante.
- Regra da potência: para um inteiro positivo
,
Aqui
significa
multiplicado por si mesmo
vezes, e o resultado diz que ao derivar você “traz o expoente para frente” e diminui o expoente em
.
- Regra do fator constante: se
é uma constante real e uma função diferenciável, então
No nosso caso
e
. Assim podemos derivar
e depois multiplicar por
.
Passo 4
Breve justificativa da regra da potência para
usando a definição por limite (para você ver de onde vem, é bom ter na prova só a regra, mas aqui explico passo a passo):
Calcule pela definição:
Calcule
Agora expandimos
usando o binômio de Newton (coeficientes binomiais):
Subtraindo
e dividindo por
obtemos
Tomando o limite quando
, todos os termos que têm
desaparecem, sobrando
Portanto
o que confirma a regra da potência para
.
Passo 5
Agora aplicamos a regra do fator constante à função dada
. Escrevemos
. Usando a regra do fator constante:
Fazendo a multiplicação,
Domínio: como
é polinomial, essa derivada vale para todo
. Exemplo numérico rápido para fixar: em
temos
— isso significa que ali a função está decrescendo com taxa
.