Exercício 5: Calcule as derivadas das funções abaixo.
f(x)=-x^{5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x) = -x^{5}.
Informações dadas: a função é um polinômio monômio multiplicado por -1. A tarefa é encontrar f'(x), a derivada em função de x. Nada mais foi pedido.

Passo 2

O que é derivada (rapidamente, na prática da prova): a derivada f'(x) é a taxa de variação instantânea de f em relação a x. Formalmente usamos a definição pelo limite:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
onde h é um incremento pequeno em x. Na prática, para polinômios existe uma regra simples (e rápida) — a regra da potência — que facilita muito o cálculo sem precisar fazer esse limite toda vez. Vou explicar essa regra e também mostrar rapidamente como ela vem da definição por limite, para você entender e lembrar melhor.

Passo 3

Regra que vamos usar (e explicar): regra da potência e regra do fator constante.
  • Regra da potência: para um inteiro positivo n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Aqui x^{n} significa x multiplicado por si mesmo n vezes, e o resultado diz que ao derivar você “traz o expoente para frente” e diminui o expoente em 1.
  • Regra do fator constante: se c é uma constante real e g(x) uma função diferenciável, então
\frac{d}{dx}\bigl(c\cdot g(x)\bigr)=c\cdot g'(x).
No nosso caso c=-1 e g(x)=x^{5}. Assim podemos derivar x^{5} e depois multiplicar por -1.

Passo 4

Breve justificativa da regra da potência para n=5 usando a definição por limite (para você ver de onde vem, é bom ter na prova só a regra, mas aqui explico passo a passo):
Calcule \frac{d}{dx}(x^{5}) pela definição:
\frac{d}{dx}(x^{5})=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{5}-x^{5}}{h}.
Agora expandimos (x+h)^{5} usando o binômio de Newton (coeficientes binomiais):
(x+h)^{5}=x^{5}+5x^{4}h+10x^{3}h^{2}+10x^{2}h^{3}+5xh^{4}+h^{5}.
Subtraindo x^{5} e dividindo por h obtemos
\frac{(x+h)^{5}-x^{5}}{h}=\frac{5x^{4}h+10x^{3}h^{2}+10x^{2}h^{3}+5xh^{4}+h^{5}}{h} =5x^{4}+10x^{3}h+10x^{2}h^{2}+5xh^{3}+h^{4}.
Tomando o limite quando h\to0, todos os termos que têm h desaparecem, sobrando
\lim_{h\to0}\bigl(5x^{4}+10x^{3}h+\cdots+h^{4}\bigr)=5x^{4}.
Portanto
\frac{d}{dx}(x^{5})=5x^{4},
o que confirma a regra da potência para n=5.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do fator constante à função dada f(x)=-x^{5}. Escrevemos f(x)=(-1)\cdot x^{5}. Usando a regra do fator constante:
f'(x)=(-1)\cdot\frac{d}{dx}(x^{5}) = (-1)\cdot 5x^{4}.
Fazendo a multiplicação,
f'(x)=-5x^{4}.
Domínio: como f é polinomial, essa derivada vale para todo x\in\mathbb{R}. Exemplo numérico rápido para fixar: em x=2 temos f'(2)=-5\cdot 2^{4}=-5\cdot 16=-80 — isso significa que ali a função está decrescendo com taxa -80.

Resposta

-5x^{4}

Exercícios relacionados