Exercício 9: Calcule as derivadas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas da função
.
Informações dadas importantes: está definida para
(porque há divisão por
).
O objetivo aqui é encontrar (a derivada de primeira ordem). Não foi fornecida nenhuma restrição adicional.
Informações dadas importantes:
O objetivo aqui é encontrar
Passo 2
Escolhendo o método: posso usar a regra do quociente ou reescrever a função como soma de potências e aplicar a regra do poder (power rule). Vou mostrar os dois métodos, mas recomendo reescrever como potências na prova porque costuma ser mais rápido e menos sujeito a erro de sinais. Vou explicar cada passo devagarinho.
Passo 3
A regra do poder (power rule) é: para
com
real, temos
Aqui
é o expoente e
é a variável. Exemplo simples: se
, então
. Se
, então
.
Passo 4
Reescrevo
como soma de potências para aplicar a regra do poder termo a termo:
Expliquei:
e
.
Passo 5
Aplico a regra do poder em cada termo, lembrando que constantes multiplicativas saem da derivada:
Derivada de :
Derivada de
Derivada de
:
Somando os termos:
Passo 6
Simplifico a expressão para ficar como uma única fração racional (isso é útil na prova para apresentar de forma compacta):
Coloco em denominação comum
:
logo
Também posso fatorar o sinal:
Passo 7
Verificação pela regra do quociente (para conferir que não houve erro): se
com
e
, então a regra do quociente diz
Aqui
e
. Substituindo:
Dividindo numerador e denominador por
(
), obtemos
que bate com o resultado anterior. Bom sinal — consistência confirmada.
Passo 8
Comentário final e domínio: a derivada
está definida para
. Em
nem
nem
existem. Força aí — você já tem o procedimento para usar no caderno da prova: reescrever como potências, aplicar a regra do poder, e simplificar.