Exercício 9: Calcule as derivadas.
f(x)=\frac{3 x+5}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas da função \displaystyle f(x)=\frac{3x+5}{x^{2}}.
Informações dadas importantes: \displaystyle f(x) está definida para x\neq 0 (porque há divisão por x^{2}).
O objetivo aqui é encontrar \displaystyle f'(x) (a derivada de primeira ordem). Não foi fornecida nenhuma restrição adicional.

Passo 2

Escolhendo o método: posso usar a regra do quociente ou reescrever a função como soma de potências e aplicar a regra do poder (power rule). Vou mostrar os dois métodos, mas recomendo reescrever como potências na prova porque costuma ser mais rápido e menos sujeito a erro de sinais. Vou explicar cada passo devagarinho.

Passo 3

A regra do poder (power rule) é: para \displaystyle g(x)=x^{n} com n real, temos
g'(x)=n x^{n-1}.
Aqui n é o expoente e x é a variável. Exemplo simples: se g(x)=x^{3}, então g'(x)=3x^{2}. Se g(x)=x^{-1}, então g'(x)=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2}.

Passo 4

Reescrevo \displaystyle f(x) como soma de potências para aplicar a regra do poder termo a termo:
\frac{3x+5}{x^{2}}=\frac{3x}{x^{2}}+\frac{5}{x^{2}}=3x^{-1}+5x^{-2}.
Expliquei: \displaystyle \frac{3x}{x^{2}}=3x^{1-2}=3x^{-1} e \displaystyle \frac{5}{x^{2}}=5x^{-2}.

Passo 5

Aplico a regra do poder em cada termo, lembrando que constantes multiplicativas saem da derivada:
Derivada de \displaystyle 3x^{-1}:
\frac{d}{dx}\big(3x^{-1}\big)=3\cdot(-1)x^{-2}=-3x^{-2}.
Derivada de \displaystyle 5x^{-2}:
\frac{d}{dx}\big(5x^{-2}\big)=5\cdot(-2)x^{-3}=-10x^{-3}.
Somando os termos:
f'(x)=-3x^{-2}-10x^{-3}.

Passo 6

Simplifico a expressão para ficar como uma única fração racional (isso é útil na prova para apresentar de forma compacta):
-3x^{-2}-10x^{-3}=-\frac{3}{x^{2}}-\frac{10}{x^{3}}.
Coloco em denominação comum \displaystyle x^{3}:
-\frac{3}{x^{2}}=-\frac{3x}{x^{3}},\quad -\frac{10}{x^{3}}=-\frac{10}{x^{3}},
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f'(x)=\frac{-3x-10}{x^{3}}.
Também posso fatorar o sinal:
f'(x)=-\frac{3x+10}{x^{3}}.

Passo 7

Verificação pela regra do quociente (para conferir que não houve erro): se \displaystyle f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} com u(x)=3x+5 e v(x)=x^{2}, então a regra do quociente diz
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u'(x)=3 e v'(x)=2x. Substituindo:
f'(x)=\frac{3\cdot x^{2}-(3x+5)\cdot 2x}{x^{4}}=\frac{3x^{2}-6x^{2}-10x}{x^{4}}=\frac{-3x^{2}-10x}{x^{4}}.
Dividindo numerador e denominador por x ( x\neq 0 ), obtemos
f'(x)=\frac{-3x-10}{x^{3}},
que bate com o resultado anterior. Bom sinal — consistência confirmada.

Passo 8

Comentário final e domínio: a derivada \displaystyle f'(x)=\frac{-3x-10}{x^{3}} está definida para x\neq 0. Em x=0 nem f(x) nem f'(x) existem. Força aí — você já tem o procedimento para usar no caderno da prova: reescrever como potências, aplicar a regra do poder, e simplificar.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{-3x-10}{x^{3}}

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