Exercício 7: Calcule as derivadas.
g(x)=6^{x}+x

Passo 1

O enunciado dá a função g e pede que a gente calcule a derivada de g. Dados: g(x)=6^{x}+x.
Pergunta: qual é g'(x), a derivada de g em função de x?

Passo 2

Primeiro lembrete importante (regra de soma): a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se h(x)=f(x)+k(x),
então h'(x)=f'(x)+k'(x).
Aqui vamos aplicar isso com f(x)=6^{x} e k(x)=x. Portanto g'(x)=(6^{x})'+(x)'.

Passo 3

Derivada da parte simples x: a função identidade x\mapsto x tem derivada 1. Formalmente, (x)' = 1,
porque a inclinação da reta y=x é 1. Então já temos uma parcela: (x)'=1.

Passo 4

Agora precisamos da derivada de \;6^{x}. Existe uma regra geral: a derivada de uma exponencial de base positiva diferente de e é obtida reescrevendo a base em função da exponencial natural. Escrevemos 6^{x}=e^{x\ln 6}.
Aqui \ln 6 é o logaritmo natural de 6 (constante), e usamos a identidade a^{x}=e^{x\ln a} válida para a>0. Isso transforma a função numa composição com a exponencial natural e^{(\cdot)}, cuja derivada conhecemos bem.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia para derivar e^{x\ln 6}. Seja u(x)=x\ln 6. Então e^{x\ln 6}=e^{u(x)}. A regra da cadeia diz que \frac{d}{dx}e^{u(x)} = e^{u(x)}\cdot u'(x).
Calculamos u'(x): como \ln 6 é constante, u'(x)=(x\ln 6)'=\ln 6.
Logo (6^{x})'=\frac{d}{dx}e^{x\ln 6}=e^{x\ln 6}\cdot \ln 6.
Voltando à base 6, isso é (6^{x})' = 6^{x}\ln 6.
Intuição: a derivada de a^{x} é a^{x} vezes \ln a.

Passo 6

Juntando as duas parcelas pelo passo 2 e usando os resultados dos passos 3 e 5, obtemos g'(x)=(6^{x})'+(x)'=6^{x}\ln 6 + 1.

Resposta

g'(x)=6^{x}\ln 6 + 1

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