Exercício 7: Calcule as derivadas.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que a gente calcule a derivada de
. Dados:
Pergunta: qual é
, a derivada de
em função de
?
Passo 2
Primeiro lembrete importante (regra de soma): a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
então
Aqui vamos aplicar isso com
e
. Portanto
Passo 3
Derivada da parte simples
: a função identidade
tem derivada
. Formalmente,
porque a inclinação da reta
é
. Então já temos uma parcela:
.
Passo 4
Agora precisamos da derivada de
. Existe uma regra geral: a derivada de uma exponencial de base positiva diferente de
é obtida reescrevendo a base em função da exponencial natural. Escrevemos
Aqui
é o logaritmo natural de
(constante), e usamos a identidade
válida para
. Isso transforma a função numa composição com a exponencial natural
, cuja derivada conhecemos bem.
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia para derivar
. Seja
. Então
. A regra da cadeia diz que
Calculamos
: como
é constante,
Logo
Voltando à base
, isso é
Intuição: a derivada de
é
vezes
.
Passo 6
Juntando as duas parcelas pelo passo 2 e usando os resultados dos passos 3 e 5, obtemos