Exercício 5 Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções dadas.
f(x, y)= \begin{cases}\frac{y+x^{4}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0), \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0) .\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede: calcular as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{y+x^{4}}{x^{2}+y^{2}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é dada por uma razão \dfrac{N(x,y)}{D(x,y)} quando (x,y)\neq(0,0), com N(x,y)=y+x^4 e D(x,y)=x^2+y^2.
  • Há um caso especial no ponto (0,0) onde f(0,0)=0.
    O que preciso entregar: \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} para (x,y)\neq(0,0) e também os valores (ou dizer se existem) dessas derivadas no ponto (0,0).]

Passo 2

Como calcular as derivadas parciais em pontos (x,y)\neq(0,0).
  • Regra que vamos usar: derivada parcial de uma razão f=\dfrac{N}{D} (com D\neq0) é obtida pelo “quociente” aplicado como se uma variável fosse a única variável, ou seja:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{N}{D}\right)=\frac{N_x D - N D_x}{D^2}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{N}{D}\right)=\frac{N_y D - N D_y}{D^2},
onde N_x=\dfrac{\partial N}{\partial x}, D_x=\dfrac{\partial D}{\partial x}, etc.
  • Aqui N(x,y)=y+x^4 e D(x,y)=x^2+y^2. Vamos calcular as derivadas parciais de N e D:
N_x=4x^3,\quad N_y=1, \qquad D_x=2x,\quad D_y=2y.

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x} para (x,y)\neq(0,0) aplicando a fórmula do quociente:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{N_x D - N D_x}{D^2} = \frac{4x^3(x^2+y^2) - (y+x^4)\,2x}{(x^2+y^2)^2}.
Agora simplifico o numerador passo a passo:
4x^3(x^2+y^2)=4x^5+4x^3y^2,
(y+x^4)\,2x=2xy+2x^5.
Subtraindo:
4x^5+4x^3y^2 - (2xy+2x^5) = (4x^5-2x^5) + 4x^3y^2 - 2xy =2x^5 + 4x^3y^2 - 2xy.
Posso fatorar um 2x se quiser:
2x^5 + 4x^3y^2 - 2xy = 2x\bigl(x^4 + 2x^2y^2 - y\bigr).
Portanto, para (x,y)\neq(0,0),
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{2x^5 + 4x^3y^2 - 2xy}{(x^2+y^2)^2} = \frac{2x\bigl(x^4 + 2x^2y^2 - y\bigr)}{(x^2+y^2)^2}.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y} para (x,y)\neq(0,0) aplicando a fórmula do quociente:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{N_y D - N D_y}{D^2} = \frac{1\cdot (x^2+y^2) - (y+x^4)\,2y}{(x^2+y^2)^2}.
Simplifico o numerador:
1\cdot (x^2+y^2)=x^2+y^2,
(y+x^4)\,2y = 2y^2 + 2x^4y.
Subtraindo:
x^2+y^2 - (2y^2 + 2x^4y) = x^2 - y^2 - 2x^4y.
Logo, para (x,y)\neq(0,0),
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{x^2 - y^2 - 2x^4y}{(x^2+y^2)^2}.

Passo 5

Agora calcular as derivadas parciais no ponto especial (0,0) usando a definição de derivada parcial por limite.
Definição: \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(h,0)-f(0,0)}{h} e \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(0,h)-f(0,0)}{h}, se esses limites existirem finitos.

Passo 6

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0).
  • Para h\neq0 temos f(h,0)=\dfrac{0 + h^4}{h^2 + 0}= \dfrac{h^4}{h^2}=h^2. Observe que aqui peguei o valor com y=0.
  • Então a diferença quociente é
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{h^2-0}{h}=h.
  • Tomando o limite h\to0:
\lim_{h\to0} h = 0.
Logo \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0. Bom sinal: essa derivada existe e vale 0.

Passo 7

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0).
  • Para h\neq0 temos f(0,h)=\dfrac{h + 0}{0 + h^2}=\dfrac{h}{h^2}=\dfrac{1}{h}. Aqui peguei o valor com x=0.
  • A diferença quociente é
\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\frac{\tfrac{1}{h}-0}{h}=\frac{1}{h^2}.
  • Quando h\to0 esse termo \dfrac{1}{h^2} tende a +\infty (seja por h\to0^+ ou h\to0^-, o quadrado anula o sinal). Portanto o limite não é finito.
    Conclusão: \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0) não existe (não existe limite finito).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{2x^5+4x^3y^2-2xy}{(x^2+y^2)^2}\quad\text{para }(x,y)\neq(0,0)
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{x^2-y^2-2x^4y}{(x^2+y^2)^2}\quad\text{para }(x,y)\neq(0,0)
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\\ \text{não existe}ã

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