A função é dada por uma razão \dfrac{N(x,y)}{D(x,y)} quando (x,y)\neq(0,0), com N(x,y)=y+x^4 e D(x,y)=x^2+y^2.
Há um caso especial no ponto (0,0) onde f(0,0)=0.
O que preciso entregar: \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} para (x,y)\neq(0,0) e também os valores (ou dizer se existem) dessas derivadas no ponto (0,0).]
Passo 2
Como calcular as derivadas parciais em pontos (x,y)\neq(0,0).
Regra que vamos usar: derivada parcial de uma razão f=\dfrac{N}{D} (com D\neq0) é obtida pelo “quociente” aplicado como se uma variável fosse a única variável, ou seja:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{N}{D}\right)=\frac{N_x D - N D_x}{D^2}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{N}{D}\right)=\frac{N_y D - N D_y}{D^2},
onde N_x=\dfrac{\partial N}{\partial x}, D_x=\dfrac{\partial D}{\partial x}, etc.
Aqui N(x,y)=y+x^4 e D(x,y)=x^2+y^2. Vamos calcular as derivadas parciais de N e D:
N_x=4x^3,\quad N_y=1, \qquad D_x=2x,\quad D_y=2y.
Passo 3
Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x} para (x,y)\neq(0,0) aplicando a fórmula do quociente:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{N_x D - N D_x}{D^2} = \frac{4x^3(x^2+y^2) - (y+x^4)\,2x}{(x^2+y^2)^2}.
Agora calcular as derivadas parciais no ponto especial (0,0) usando a definição de derivada parcial por limite.
Definição: \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(h,0)-f(0,0)}{h} e \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(0,h)-f(0,0)}{h}, se esses limites existirem finitos.
Passo 6
Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0).
Para h\neq0 temos f(h,0)=\dfrac{0 + h^4}{h^2 + 0}= \dfrac{h^4}{h^2}=h^2. Observe que aqui peguei o valor com y=0.
Então a diferença quociente é
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{h^2-0}{h}=h.
Tomando o limite h\to0:
\lim_{h\to0} h = 0.
Logo \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0. Bom sinal: essa derivada existe e vale 0.
Passo 7
Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0).
Para h\neq0 temos f(0,h)=\dfrac{h + 0}{0 + h^2}=\dfrac{h}{h^2}=\dfrac{1}{h}. Aqui peguei o valor com x=0.
Quando h\to0 esse termo \dfrac{1}{h^2} tende a +\infty (seja por h\to0^+ ou h\to0^-, o quadrado anula o sinal). Portanto o limite não é finito.
Conclusão: \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0) não existe (não existe limite finito).