Exercício 6 Estude a diferenciabilidade das funções dadas.
f(x, y)= \begin{cases}\frac{y^{4}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{y^{4}}{x^{2}+y^{2}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
A tarefa é “estudar a diferenciabilidade” da função. Para organizar o que precisamos responder, eu separo as perguntas implícitas:
  • A função é diferenciável em pontos (x,y)\neq(0,0)?
  • A função é diferenciável no ponto (0,0)?
  • Se for diferenciável, qual é o diferencial (ou o gradiente) no ponto (0,0)?
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A fórmula explícita \dfrac{y^{4}}{x^{2}+y^{2}} vale para todo ponto exceto a origem.
  • Em (0,0) a função vale 0.]

Passo 2

Diferenciabilidade para (x,y)\neq(0,0).
Explicando devagar: uma razão clássica é que polinômios são funções infinitamente diferenciáveis, e a razão (quociente) de duas funções diferenciáveis é diferenciável desde que o denominador não se anule. Aqui, para (x,y)\neq(0,0) o denominador x^{2}+y^{2} é estritamente positivo, então a função
(x,y)\mapsto \dfrac{y^{4}}{x^{2}+y^{2}}
é obtida como quociente de funções polinomiais com denominador diferente de zero. Logo ela é diferenciável (na verdade C^\infty) em todo ponto (x,y) com (x,y)\neq(0,0).
Resumo deste passo: a função é diferenciável em todo ponto fora da origem.

Passo 3

Continuidade em (0,0) — passo necessário antes de falar em diferenciabilidade.
Vou mostrar que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0, isto é, f é contínua na origem. Use coordenadas polares para ver claramente o comportamento quando (x,y)\to(0,0). Ponha
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Para (x,y)\neq(0,0) temos
f(x,y)=\dfrac{y^{4}}{x^{2}+y^{2}}=\dfrac{(r\sin\theta)^{4}}{r^{2}}=r^{2}\sin^{4}\theta.
Dessa expressão segue imediatamente que
|f(x,y)|\le r^{2}\cdot 1 = r^{2},
porque |\sin\theta|\le1. Como r\to0 implica r^{2}\to0, temos f(x,y)\to0. Portanto f é contínua em (0,0).
Comentário intuitivo: f tende a zero pelo fato de a potência y^4 anular mais rápido que o denominador x^2+y^2.

Passo 4

Cálculo das derivadas parciais no ponto (0,0).
Recordando a definição: a derivada parcial em 0 por x é
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h},
e por y é
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}.
Calcule a derivada parcial em x:
  • Para pontos da forma (h,0) temos y=0\Rightarrow f(h,0)=0 (pela expressão quando (x,y)\neq(0,0) ou pela definição em origem). Então
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{0-0}{h}=0,
para h\neq0. Logo
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0.
Calcule a derivada parcial em y:
  • Para pontos (0,h) com h\neq0 temos
f(0,h)=\dfrac{h^{4}}{0+h^{2}}=h^{2}.
Assim
\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\frac{h^{2}-0}{h}=h.
Fazendo h\to0 obtemos
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.
Portanto as derivadas parciais existem em (0,0) e valem
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.

Passo 5

Critério de diferenciabilidade no ponto (0,0) e verificação completa.
Lembrete teórico simples e intuitivo: f é diferenciável em (0,0) se existe uma aplicação linear L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} tal que
f(h,k)=L(h,k)+o\big(\sqrt{h^{2}+k^{2}}\big)\quad\text{quando }(h,k)\to(0,0).
Quando as derivadas parciais existem, o candidato natural é L(h,k)=\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)\,h+\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)\,k. Aqui vimos que ambas são zero, então o candidato é L\equiv 0. Assim precisamos verificar que
f(x,y)=o\big(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\big)\quad\text{quando }(x,y)\to(0,0),
ou seja que
\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\to 0.
Usando a expressão em coordenadas polares já encontrada:
f(x,y)=r^{2}\sin^{4}\theta.
Logo
\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{r^{2}\sin^{4}\theta}{r}=r\sin^{4}\theta.
Para qualquer \theta fixo, quando r\to0 a quantidade r\sin^{4}\theta\to0. Mais geralmente, como |\sin^{4}\theta|\le1, temos
\left|\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right|\le r,
e r\to0. Portanto
\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\to0,
o que mostra exatamente que f(x,y)=o(\sqrt{x^{2}+y^{2}}). Assim o erro entre f e a aplicação linear L\equiv0 é pequeno o suficiente: f é diferenciável em (0,0) e o diferencial (gradiente) é o vetor nulo.
Comentário alternativo curto: também se vê diretamente que |f(x,y)|\le r^{2}, então |f(x,y)|/r\le r\to0.

Passo 6

Conclusão final e interpretação intuitiva.
  • Em qualquer ponto (x,y)\neq(0,0) a função é diferenciável porque é razão de polinômios com denominador não nulo.
  • Em (0,0) a função também é diferenciável: as derivadas parciais existem e valem zero, e a condição f(x,y)=o(\sqrt{x^{2}+y^{2}}) está satisfeita (por exemplo f(x,y)=r^{2}\sin^{4}\theta f/r=r\sin^{4}\theta\to0).
Intuição final: apesar do denominador x^{2}+y^{2} parecer perigoso, o numerador y^{4} anula “rápido demais” quando (x,y) aproxima da origem, fazendo a função ir a zero com ordem r^{2}, suficiente para garantir diferenciabilidade com diferencial nulo.

Resposta

A função f é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}.
O gradiente em (0,0) é \nabla f(0,0)=(0,0).

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