Exercício 2 Calcule os limites das funções dadas, nos pontos indicados.
no
Passo 1
O enunciado pede o limite da função
no ponto
.
Informações relevantes que temos:
- A função usa radicais, então ela só está definida onde
e (isto é, ), mas o ponto está nesse domínio. - Se fizermos substituição direta em
: - o numerador vale
; - o denominador vale
.
Portanto a substituição dá a forma indeterminada. Isso significa que precisamos manipular a expressão para tentar encontrar o limite.
- o numerador vale
Passo 2
O que significa a forma
aqui: quando a substituição direta dá
, não podemos concluir o limite sem mais trabalho — pode haver um valor finito, infinito, ou o limite pode não existir. Uma técnica habitual é simplificar a expressão algébrica antes de avaliar o ponto. Aqui o numerador tem a diferença de duas raízes, então a técnica natural é racionalizar o numerador usando o conjugado.
Passo 3
Vou multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador, que é
. Isso não muda a função para pontos onde o denominador do fator multiplicador não é zero. Escrevendo:
Passo 4
Agora desenvolvo o produto no numerador (uso a identidade
):
Note que
, portanto o fator
aparece tanto no numerador quanto no denominador.
Passo 5
Como
aparece em cima e embaixo, podemos cancelar esse fator para todos os pontos onde
. Após o cancelamento obtemos a forma simplificada válida para pontos próximos (mas diferentes) de
:
Explicação didática: cancelar é permitido porque estamos tratando de valores do par
para os quais a expressão original está definida; a simplificação mostra a expressão que a função assume em qualquer ponto da vizinhança onde ela existe. Para avaliar o limite, é exatamente isso que interessa: o comportamento quando
se aproxima de
por pontos em que a função está definida.
Passo 6
A expressão simplificada
é uma função composta de somas e raízes quadradas, operações contínuas no domínio considerado. Portanto podemos avaliar o limite direto substituindo
na expressão simplificada:
Passo 7
Calculo os radicais e concluo:
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