Exercício 2 Calcule os limites das funções dadas, nos pontos indicados.
f(x, y)=\frac{3(\sqrt{x}-\sqrt{y+1})}{x-y-1} no (4,3)

Passo 1

O enunciado pede o limite da função
f(x,y)=\frac{3\big(\sqrt{x}-\sqrt{y+1}\big)}{x-y-1}
no ponto (4,3).
Informações relevantes que temos:
  • A função usa radicais, então ela só está definida onde \,x\ge 0 e y+1\ge 0 (isto é, y\ge -1), mas o ponto (4,3) está nesse domínio.
  • Se fizermos substituição direta em (4,3):
    • o numerador vale 3\big(\sqrt{4}-\sqrt{3+1}\big)=3(2-2)=0;
    • o denominador vale 4-3-1=0.
      Portanto a substituição dá a forma indeterminada 0/0. Isso significa que precisamos manipular a expressão para tentar encontrar o limite.

Passo 2

O que significa a forma 0/0 aqui: quando a substituição direta dá 0/0, não podemos concluir o limite sem mais trabalho — pode haver um valor finito, infinito, ou o limite pode não existir. Uma técnica habitual é simplificar a expressão algébrica antes de avaliar o ponto. Aqui o numerador tem a diferença de duas raízes, então a técnica natural é racionalizar o numerador usando o conjugado.

Passo 3

Vou multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador, que é \sqrt{x}+\sqrt{y+1}. Isso não muda a função para pontos onde o denominador do fator multiplicador não é zero. Escrevendo:
f(x,y) = \frac{3\big(\sqrt{x}-\sqrt{y+1}\big)}{x-y-1}\cdot \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y+1}}{\sqrt{x}+\sqrt{y+1}}.

Passo 4

Agora desenvolvo o produto no numerador (uso a identidade (a-b)(a+b)=a^2-b^2):
f(x,y) = \frac{3\big(x-(y+1)\big)}{(x-y-1)\big(\sqrt{x}+\sqrt{y+1}\big)}.
Note que x-(y+1)=x-y-1, portanto o fator x-y-1 aparece tanto no numerador quanto no denominador.

Passo 5

Como x-y-1 aparece em cima e embaixo, podemos cancelar esse fator para todos os pontos onde x-y-1\neq 0. Após o cancelamento obtemos a forma simplificada válida para pontos próximos (mas diferentes) de (4,3):
f(x,y)=\frac{3}{\sqrt{x}+\sqrt{y+1}} \qquad\text{(quando }x-y-1\neq 0\text{)}.
Explicação didática: cancelar é permitido porque estamos tratando de valores do par (x,y) para os quais a expressão original está definida; a simplificação mostra a expressão que a função assume em qualquer ponto da vizinhança onde ela existe. Para avaliar o limite, é exatamente isso que interessa: o comportamento quando (x,y) se aproxima de (4,3) por pontos em que a função está definida.

Passo 6

A expressão simplificada \dfrac{3}{\sqrt{x}+\sqrt{y+1}} é uma função composta de somas e raízes quadradas, operações contínuas no domínio considerado. Portanto podemos avaliar o limite direto substituindo (x,y)=(4,3) na expressão simplificada:
\lim_{(x,y)\to(4,3)} f(x,y) = \frac{3}{\sqrt{4}+\sqrt{3+1}}.

Passo 7

Calculo os radicais e concluo:
\sqrt{4}=2,\qquad \sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2,
logo
\lim_{(x,y)\to(4,3)} f(x,y)=\frac{3}{2+2}=\frac{3}{4}.

Resposta

\dfrac{3}{4}

Exercícios relacionados