Exercício 2 Calcule os limites das funções dadas, nos pontos indicados.
f(x, y, z)=\frac{4 x y+2 y}{x^{2}+z^{2}} no (1,-1,-1)

Passo 1

O enunciado pede o limite da função f(x,y,z)=\dfrac{4xy+2y}{x^{2}+z^{2}} no ponto (1,-1,-1).
Informações dadas:
  • A função é f(x,y,z)=\dfrac{4xy+2y}{x^{2}+z^{2}}.
  • O ponto onde queremos o limite é (x,y,z)=(1,-1,-1).
O que é pedido:
  • Calcular \displaystyle\lim_{(x,y,z)\to(1,-1,-1)} \dfrac{4xy+2y}{x^{2}+z^{2}}.

Passo 2

Ideia importante (teoria básica, explicada de forma direta):
  • Funções polinomiais em várias variáveis (como x, y, z) são contínuas: isso significa que o valor da função num ponto é o limite quando nos aproximamos desse ponto.
  • O quociente de duas funções contínuas é contínuo em todos os pontos onde o denominador não é zero.
  • Conclusão prática: se o denominador x^{2}+z^{2} no ponto dado for diferente de zero, então podemos simplesmente substituir o ponto na expressão para obter o limite. Caso contrário (denominador zero) teríamos de analisar caminhos e verificar existência do limite.

Passo 3

Verificar o denominador no ponto dado:
x^{2}+z^{2}=1^{2}+(-1)^{2}=1+1=2.
Como \,2\neq0, o denominador no ponto (1,-1,-1) é diferente de zero. Portanto a função é contínua naquele ponto e é válido obter o limite por substituição direta.

Passo 4

Calcular o numerador no ponto dado. Primeiro escrevo o numerador de forma factorizada:
4xy+2y=y(4x+2).
Agora avalio em (x,y)=(1,-1):
y(4x+2)=(-1)\bigl(4\cdot1+2\bigr)=(-1)(4+2)=(-1)\cdot6=-6.

Passo 5

Calcular o quociente (valor da função no ponto), dividindo o numerador pelo denominador:
\frac{4xy+2y}{x^{2}+z^{2}}\Bigg|_{(1,-1,-1)}=\frac{-6}{2}=-3.
Portanto o limite existe e é -3.

Resposta

-3

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