Exercício 1. Calcule as derivadas parciais de primeira ordem partial fpartial x e partial fpartial y :
f(x, y)=e^-x sen(x+y)

Passo 1

Resumo do exercício e o que vamos precisar: Temos a função f(x,y)=e^-xsin(x+y), e o objetivo é calcular as derivadas parciais de primeira ordem partial f/partial x e partial f/partial y. Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Cálculo de partial f/partial x: note que f é produto de u(x)=e^-x e v(x,y)=sin(x+y). Pela regra do produto,
partial fpartial x= ddxl(e^-xr)cdotsin(x+y)+ e^-xcdotpartialpartial xl(sin(x+y)r)

Passo 3

Agora usamos a regra da cadeia em cada derivada:
  • ddx(e^-x) = e^-xcdot(-1) = -e^-x.
  • partialpartial x(sin(x+y)) = cos(x+y)cdot1 = cos(x+y).

Passo 4

Substituindo de volta:
partial fpartial x= -e^-xsin(x+y) + e^-xcos(x+y)= e^-xl(cos(x+y)-sin(x+y)r)

Passo 5

Cálculo de partial f/partial y: aqui e^-x é tratado como constante, e só derivamos sin(x+y) em relação a y. Pela regra da cadeia,
partial fpartial y= e^-xcdotddyl(sin(x+y)r)= e^-xcdotcos(x+y)cdot1= e^-xcos(x+y)

Resposta

partial fpartial x = e^-x[cos(x+y)-sin(x+y)] e partial fpartial y = e^-xcos(x+y).

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