Use o recurso de completar quadrados para resolver a equação
. Esboce do gráfico de
.
Determine a inversa de
(se necessário, restrinja o domínio e o contradomínio da função).
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação f(x)=0, onde f(x)=6−2x+4x^2, usando completar o quadrado; depois esboçar o gráfico de y=f(x) e, por fim, determinar a inversa de f (se necessário restringir domínio e contradomínio). Vamos usar completar o quadrado para achar a forma vértice de uma função quadrática e analisar sua monotonicidade.
Passo 2
Reescrevemos f(x) na forma padrão: f(x)=4x^2−2x+6.
Passo 3
Fatoramos o coeficiente 4 dos termos em x: f(x)=4·(x^2−(1/2)x)+6.
Passo 4
Completamos o quadrado no parêntese. Como x2−(1/2)x=(x−1/4)2−1/16, temos:
Passo 5
Da forma
percebemos que o termo quadrático é sempre ≥0, logo f(x)≥23/4>0 para todo x real. Portanto não há soluções reais de f(x)=0.
Passo 6
O gráfico de y=f(x) é uma parábola com concavidade para cima, vértice em
e eixo de simetria
.
Passo 7
Para achar a inversa precisamos de monotonicidade. f é crescente para x≥1/4. Então restringimos o domínio a [1/4,∞) e o contradomínio a [23/4,∞).
Passo 8
Para inverter, escrevemos y=4(x−1/4)^2+23/4, isolamos o quadrado e extraímos a raiz positiva (pois x−1/4≥0):
Logo
Passo 9
final_answer":"A equação f(x)=0 não possui raízes reais. O gráfico de y=f(x) é uma parábola de concavidade para cima, com vértice em (1/4,23/4) e eixo de simetria x=1/4. Restringindo domínio e contradomínio a
[1/4,∞)→[23/4,∞), a inversa é:
[1/4,∞)→[23/4,∞), a inversa é: