Use o recurso de completar quadrados para resolver a equação f(x)=0. Esboce do gráfico de y=f(x).
Determine a inversa de f(x) (se necessário, restrinja o domínio e o contradomínio da função).
f(x)=6-2 x+4 x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação f(x)=0, onde f(x)=6−2x+4x^2, usando completar o quadrado; depois esboçar o gráfico de y=f(x) e, por fim, determinar a inversa de f (se necessário restringir domínio e contradomínio). Vamos usar completar o quadrado para achar a forma vértice de uma função quadrática e analisar sua monotonicidade.

Passo 2

Reescrevemos f(x) na forma padrão: f(x)=4x^2−2x+6.

Passo 3

Fatoramos o coeficiente 4 dos termos em x: f(x)=4·(x^2−(1/2)x)+6.

Passo 4

Completamos o quadrado no parêntese. Como x2−(1/2)x=(x−1/4)2−1/16, temos:
f(x)=4l((x−1/4)^2−1/16r)+6=4(x−1/4)^2−4·tfrac116+6=4(x−1/4)^2+tfrac234

Passo 5

Da forma f(x)=4(x−1/4)^2+23/4 percebemos que o termo quadrático é sempre ≥0, logo f(x)≥23/4>0 para todo x real. Portanto não há soluções reais de f(x)=0.

Passo 6

O gráfico de y=f(x) é uma parábola com concavidade para cima, vértice em (1/4,23/4) e eixo de simetria x=1/4.

Passo 7

Para achar a inversa precisamos de monotonicidade. f é crescente para x≥1/4. Então restringimos o domínio a [1/4,∞) e o contradomínio a [23/4,∞).

Passo 8

Para inverter, escrevemos y=4(x−1/4)^2+23/4, isolamos o quadrado e extraímos a raiz positiva (pois x−1/4≥0):
y−234=4(x−tfrac14)^2Rightarrow(x−tfrac14)=tfrac12raizy−tfrac234Rightarrow x=tfrac14+tfrac12raizy−tfrac234
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Passo 9

final_answer":"A equação f(x)=0 não possui raízes reais. O gráfico de y=f(x) é uma parábola de concavidade para cima, com vértice em (1/4,23/4) e eixo de simetria x=1/4. Restringindo domínio e contradomínio a
[1/4,∞)→[23/4,∞), a inversa é:
f^-1(x)=14+12raizx-234 "

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