Use o recurso de completar quadrados para resolver a equação f(x)=0. Esboce do gráfico de y=f(x).
Determine a inversa de f(x) (se necessário, restrinja o domínio e o contradomínio da função).
f(x)=5 x^2+4-6 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação f(x)=0 por completar quadrados, esboçar o gráfico de y=f(x) e determinar a inversa, se necessário restringindo domínio e contradomínio. O conteúdo é análise de função quadrática: completar quadrado, estudo de parábola e definição de função inversa.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em f(x)=5x^2−6x+4. Primeiro fatora 5 dos dois primeiros termos:
f(x)=5l(x^2-65xr)+4
Agora adiciona e subtrai (35)^2=925 dentro do colchete:
f(x)=5l[(x^2-65x+925)-925r]+4 =5(x-35)^2-95+4
Por fim soma o termo constante:
f(x)=5l(x-tfrac35r)^2+tfrac115

Passo 3

Para resolver f(x)=0, igualamos a expressão completada a zero:
5(x-tfrac35)^2+tfrac115=0
5(x-tfrac35)^2=-tfrac115
(x-tfrac35)^2=-tfrac1125
Logo as raízes são complexas:
x-tfrac35=pm itfracraiz115
x=tfrac35pm itfracraiz115

Passo 4

Para esboçar y=f(x), vemos que é uma parábola com vértice no ponto
l(tfrac35,tfrac115r)
eixo de simetria x=3/5 e abertura para cima (coeficiente 5>0). Não corta o eixo x (não tem raízes reais) e intercepta o eixo y em f(0)=4.

Passo 5

Para achar a inversa precisamos restringir f a um ramo monotônico. Escolhemos o ramo crescente x≥3/5. Seja y=f(x)=5(x-3/5)^2+11/5. Resolvendo para x:
5(x-tfrac35)^2=y-tfrac115
(x-tfrac35)=+tfrac15raiz5y-11
x=tfrac35+tfrac15raiz5y-11
Trocando y por x na inversa e indicando domínio e contradomínio adequados concluímos.

Passo 6

final_answer

Exercícios relacionados