Use o recurso de completar quadrados para resolver a equação
. Esboce do gráfico de
.
Determine a inversa de
(se necessário, restrinja o domínio e o contradomínio da função).
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação f(x)=0 por completar quadrados, esboçar o gráfico de y=f(x) e determinar a inversa, se necessário restringindo domínio e contradomínio. O conteúdo é análise de função quadrática: completar quadrado, estudo de parábola e definição de função inversa.
Passo 2
Começamos completando o quadrado em f(x)=5x^2−6x+4. Primeiro fatora 5 dos dois primeiros termos:
Agora adiciona e subtrai
dentro do colchete:
Por fim soma o termo constante:
Passo 3
Para resolver f(x)=0, igualamos a expressão completada a zero:
Logo as raízes são complexas:
Passo 4
Para esboçar y=f(x), vemos que é uma parábola com vértice no ponto
eixo de simetria x=3/5 e abertura para cima (coeficiente 5>0). Não corta o eixo x (não tem raízes reais) e intercepta o eixo y em f(0)=4.
Passo 5
Para achar a inversa precisamos restringir f a um ramo monotônico. Escolhemos o ramo crescente x≥3/5. Seja y=f(x)=5(x-3/5)^2+11/5. Resolvendo para x:
Trocando y por x na inversa e indicando domínio e contradomínio adequados concluímos.
Passo 6
final_answer