Questão Verifique, justificando, quais das funções abaixo, saisfazem o Teorema de Rolle, no intervalo dado, e em caso afirmativo, determine
valores da(s) constante(s) existente(s) dada pelo teorema.
Passo 1
Nesse problema, queremos verificar se a função
satisfaz o Teorema de Rolle no intervalo
. Para isso, precisamos de: (i) continuidade em
, (ii) diferenciabilidade em
e (iii) valores iguais nos extremos do intervalo.
Passo 2
Como as funções seno e cosseno são contínuas e deriváveis em todo
, a combinação linear
também é contínua em
e derivável em
.
Passo 3
Vamos calcular os valores nos extremos:
Como
, a terceira condição de Rolle está satisfeita.
Passo 4
Derivando
, temos:
O Teorema de Rolle garante ao menos um
tal que
. Resolvendo:
No intervalo
ficam
e
.
Resposta
A função satisfaz o Teorema de Rolle em
e os valores de
em
tais que
são
e
.