2^ a Questão Verifique, justificando, quais das funções abaixo, saisfazem o Teorema de Rolle, no intervalo dado, e em caso afirmativo, determine o(s) valores da(s) constante(s) existente(s) dada pelo teorema.
gd(x)=sen(x)-cos (x) em[-pi, pi]

Passo 1

Nesse problema, queremos verificar se a função g(x)=sen(x)-cos(x) satisfaz o Teorema de Rolle no intervalo [-pi,pi]. Para isso, precisamos de: (i) continuidade em [-pi,pi], (ii) diferenciabilidade em (-pi,pi) e (iii) valores iguais nos extremos do intervalo.

Passo 2

Como as funções seno e cosseno são contínuas e deriváveis em todo R, a combinação linear g(x)=sen(x)-cos(x) também é contínua em [-pi,pi] e derivável em (-pi,pi).

Passo 3

Vamos calcular os valores nos extremos:
g(-pi)=sen(-pi)-cos(-pi)=0-(-1)=1
g(pi)=sen(pi)-cos(pi)=0-(-1)=1
Como g(-pi)=g(pi)=1, a terceira condição de Rolle está satisfeita.

Passo 4

Derivando g, temos:
g'(x)=ddxl(sen(x)-cos(x)r)=cos(x)+sin(x)
O Teorema de Rolle garante ao menos um cin(-pi,pi) tal que g'(c)=0. Resolvendo:
cos(x)+sin(x)=0Longrightarrowtan(x)=-1Longrightarrow x=-tfracpi4+kpi
No intervalo (-pi,pi) ficam x=-tfracpi4 e x=tfrac3pi4.

Resposta

A função satisfaz o Teorema de Rolle em [-pi,pi] e os valores de c em (-pi,pi) tais que g'(c)=0 são c=-tfracpi4 e c=tfrac3pi4.

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