Exercício 1. Calcule as derivadas parciais de primeira ordem partial fpartial x e partial fpartial y :
f(x, y)=(sen(x-3 y))^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem de uma função de duas variáveis; o conteúdo é aplicação da regra da cadeia em derivadas parciais e vamos precisar reconhecer que a função interna é u = x - 3y e a externa é f = (sin u)^2.

Passo 2

Definimos u = x - 3y, então f(x,y) = (sin u)^2. Calculamos primeiro as derivadas de u: partial upartial x = 1 e partial upartial y = -3.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para partial fpartial x: derivada de (sin u)^2 em relação a u é 2sin u cdot cos u, multiplicamos por partial upartial x=1. Assim
partial fpartial x = 2sin(u)cos(u) cdot 1 = 2sin(x-3y)cos(x-3y)

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para partial fpartial y: derivada de (sin u)^2 em relação a u é 2sin u cdot cos u, multiplicamos por partial upartial y=-3. Assim
partial fpartial y = 2sin(u)cos(u) cdot (-3) = -6sin(x-3y)cos(x-3y)

Passo 5

Como forma alternativa, podemos usar a identidade 2sin ucos u = sin(2u).

Resposta

partial fpartial x = 2sin(x-3y)cos(x-3y) = sinl(2(x-3y)r), partial fpartial y = -6sin(x-3y)cos(x-3y) = -3sinl(2(x-3y)r).

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