Use o recurso de completar quadrados para resolver a equação
. Esboce do gráfico de
.
Determine a inversa de
(se necessário, restrinja o domínio e o contradomínio da função).
Passo 1
O enunciado pede para usar o método de completamento de quadrados para resolver a equação
, esboçar o gráfico de
(uma parábola) e, por fim, determinar a inversa de
, restringindo domínio e contradomínio se necessário.
Passo 2
Para completar o quadrado em
, fatoramos o coeficiente de
e agrupamos termos:
Em seguida, somamos e subtraímos
dentro dos parênteses:
Convertendo
, obtemos a forma canônica:
Passo 3
A partir da forma canônica, resolvemos
:
Passo 4
Para esboçar o gráfico de
: é uma parábola côncava para baixo, com vértice em
, eixo de simetria
, intercepto em
no ponto
e interceptos em
nos pontos
.
Passo 5
Como uma parábola não é injetora em
, restringimos o domínio a um ramo monotônico. No ramo decrescente
, a imagem é
e temos bijeção.
Passo 6
Para obter a inversa, escrevemos
e isolamos
:
No ramo
escolhemos o sinal
, logo
Resposta
As soluções da equação
são
O gráfico de
é uma parábola côncava para baixo com vértice em
, eixo de simetria
, intercepto em
no ponto
e interceptos em
nos pontos
.
Como
não é injetora em
, restringindo o domínio a
obtemos bijeção de imagem
. Nesse ramo, a inversa é