Use o recurso de completar quadrados para resolver a equação f(x)=0. Esboce do gráfico de y=f(x).
Determine a inversa de f(x) (se necessário, restrinja o domínio e o contradomínio da função).
f(x)=-2 x^2-7 x-4

Passo 1

O enunciado pede para usar o método de completamento de quadrados para resolver a equação f(x)=0, esboçar o gráfico de y=f(x) (uma parábola) e, por fim, determinar a inversa de f(x), restringindo domínio e contradomínio se necessário.

Passo 2

Para completar o quadrado em f(x)=-2x^2-7x-4, fatoramos o coeficiente de x^2 e agrupamos termos:
f(x)=-2l(x^2+tfrac72xr)-4
Em seguida, somamos e subtraímos l(tfrac72div2r)^2=tfrac4916 dentro dos parênteses:
f(x)=-2l[(x+tfrac74)^2-tfrac4916r]-4 =-2(x+tfrac74)^2+tfrac498-4
Convertendo 4=tfrac328, obtemos a forma canônica:
f(x)=-2(x+tfrac74)^2+tfrac178

Passo 3

A partir da forma canônica, resolvemos f(x)=0:
-2(x+tfrac74)^2+tfrac178=0
(x+tfrac74)^2=tfrac1716
x=-tfrac74pmtfracraiz174

Passo 4

Para esboçar o gráfico de y=f(x): é uma parábola côncava para baixo, com vértice em l(-tfrac74,tfrac178r), eixo de simetria x=-tfrac74, intercepto em y no ponto (0,-4) e interceptos em x nos pontos l(tfrac-7pmraiz174,0r).

Passo 5

Como uma parábola não é injetora em R, restringimos o domínio a um ramo monotônico. No ramo decrescente x>=-tfrac74, a imagem é y<=tfrac178 e temos bijeção.

Passo 6

Para obter a inversa, escrevemos y=-2x^2-7x-4 e isolamos x:
x=-7pmraiz49-4cdot1cdot2,(4+y)2cdot(-2) =-7pmraiz17-8y4
No ramo x>=-tfrac74 escolhemos o sinal +, logo
f^-1(y)=-7+raiz17-8y4, y<=tfrac178

Resposta

As soluções da equação f(x)=0 são
x=-tfrac74pmtfracraiz174
O gráfico de y=f(x) é uma parábola côncava para baixo com vértice em l(-tfrac74,tfrac178r), eixo de simetria x=-tfrac74, intercepto em y no ponto (0,-4) e interceptos em x nos pontos l(tfrac-7pmraiz174,0r).
Como f não é injetora em R, restringindo o domínio a [- frac74,infty) obtemos bijeção de imagem f^-1(y)=-7+raiz17-8y4, y<=tfrac178 . Nesse ramo, a inversa é

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