Exercício 4. Calcule as seguintes integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- A função integrando é a constante
(número real, aproximadamente ). - Os limites de integração são
(limite inferior) e (limite superior). Note que o limite superior é menor que o inferior — isso afeta o sinal do resultado.
A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral definida?
Passo 2
Conceito e fórmula útil: para uma constante
vale a regra
Explicação didática: a integral definida de uma função constante mede a “área” de um retângulo de altura
entre
e
. A base tem comprimento
, logo a área é
vezes
. Se
, a diferença
fica negativa e a integral dá um número negativo — isso vem da orientação do intervalo de integração.
Passo 3
Outra forma (estritamente ligada ao Teorema Fundamental do Cálculo): primeiro encontramos uma antiderivada de
. Uma antiderivada
satisfaz
. Como a derivada de
é
, uma antiderivada é
Aqui
é constante e
é a variável de integração. (Se quisesse, poderia escrever
, onde
é constante, mas não precisamos do
para integrais definidas.)
Passo 4
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo para a integral dada:
onde
. Calculando:
Passo 5
Verificação alternativa usando a regra do passo 2 ou a propriedade de troca de limites:
Ou ainda
As três abordagens dão o mesmo resultado, reforçando que o sinal negativo vem do fato de integrar do maior para o menor.
Passo 6
Interpretação final e motivação: geometricamente, integrar do
até
é como percorrer o eixo
no sentido contrário; a área positiva do retângulo de base
e altura
aparece com sinal negativo por causa dessa orientação. Isso é útil em provas: sempre que os limites estiverem invertidos, espere um sinal negativo.