Exercício 4. Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{5}^{-2} \pi d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{5}^{-2} \pi \, dx.
Informações dadas:
  • A função integrando é a constante \pi (número real, aproximadamente 3,1415\ldots).
  • Os limites de integração são a=5 (limite inferior) e b=-2 (limite superior). Note que o limite superior é menor que o inferior — isso afeta o sinal do resultado.
    A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral definida?

Passo 2

Conceito e fórmula útil: para uma constante c vale a regra
\int_{a}^{b} c \, dx = c\,(b-a).
Explicação didática: a integral definida de uma função constante mede a “área” de um retângulo de altura c entre x=a e x=b. A base tem comprimento (b-a), logo a área é c vezes (b-a). Se b<a, a diferença (b-a) fica negativa e a integral dá um número negativo — isso vem da orientação do intervalo de integração.

Passo 3

Outra forma (estritamente ligada ao Teorema Fundamental do Cálculo): primeiro encontramos uma antiderivada de \pi. Uma antiderivada F(x) satisfaz F'(x)=\pi. Como a derivada de x é 1, uma antiderivada é
F(x)=\pi x.
Aqui \pi é constante e x é a variável de integração. (Se quisesse, poderia escrever F(x)=\pi x + C, onde C é constante, mas não precisamos do C para integrais definidas.)

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo para a integral dada:
\int_{5}^{-2} \pi \, dx = F(-2)-F(5),
onde F(x)=\pi x. Calculando:
F(-2)-F(5)=\pi(-2)-\pi(5) = -2\pi - 5\pi = -7\pi.

Passo 5

Verificação alternativa usando a regra do passo 2 ou a propriedade de troca de limites:
\int_{5}^{-2} \pi \, dx = \pi\bigl((-2)-5\bigr)=\pi(-7)=-7\pi.
Ou ainda
\int_{5}^{-2} \pi \, dx = -\int_{-2}^{5} \pi \, dx = -\pi(5-(-2))=-\pi\cdot 7=-7\pi.
As três abordagens dão o mesmo resultado, reforçando que o sinal negativo vem do fato de integrar do maior para o menor.

Passo 6

Interpretação final e motivação: geometricamente, integrar do x=5 até x=-2 é como percorrer o eixo x no sentido contrário; a área positiva do retângulo de base 7 e altura \pi aparece com sinal negativo por causa dessa orientação. Isso é útil em provas: sempre que os limites estiverem invertidos, espere um sinal negativo.

Resposta

-7\pi

Exercícios relacionados