Exercício 0.4 Calcule as derivas implícitas a seguir:
3 x^4 y^2-7 x y^3=4-8 y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada implícita da relação 3 x^4 y^2 - 7 x y^3 = 4 - 8 y. O conteúdo é derivação implícita, e a gente vai precisar do produto, da cadeia e de agrupar os termos com y'.

Passo 2

Vamos derivar cada termo em relação a x. No lado esquerdo temos dois produtos:
$$\frac{d}{dx}\bigl(3 x^4 y2\bigr)=3\bigl(4x3y^2 + x^4\cdot 2y,y

Passo 3

,

Passo 4

,

Passo 5

No lado direito:
$$\frac{d}{dx}(4-8y)=0 - 8y’
$$

Passo 6

Agora, montamos a equação com todas as derivadas:
12x^3y^2 + 6x^4y,y' -7y^3 -21xy^2,y' = -8y'

Passo 7

Vamos isolar todos os termos com y' de um lado e os sem y' do outro:
6x^4y,y' -21xy^2,y' +8y' = 7y^3 -12x^3y^2

Passo 8

Fatorando y':
y'(6x^4y -21xy^2 +8) = 7y^3 -12x^3y^2

Resposta

y'=7y^3 -12x^3y^26x^4y -21xy^2 +8

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