Exercício 2. Calcule o determinante da matriz abaixo usando método do desenvolvimento de Laplace.
A=\left(\begin{array}{cccc} 3 & -1 & 5 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 & 1 \\\\ 2 & 0 & -1 & 3 \\\\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz A usando o desenvolvimento de Laplace. A matriz dada é
A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 5 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 & 1 \\\\ 2 & 0 & -1 & 3 \\\\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A matriz é 4\times4.
  • As entradas da segunda linha são a_{21}=0, a_{22}=2, a_{23}=0, a_{24}=1.
  • O método exigido é o desenvolvimento de Laplace (expansão por cofatores).

Passo 2

Vou explicar o método que vamos usar (Laplace), de modo claro e devagar.
  • Para uma matriz n\times n, o menor M_{ij} é o determinante da matriz obtida ao eliminar a linha i e a coluna j.
  • O cofator C_{ij} é definido por C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
  • O desenvolvimento de Laplace ao longo da linha i
\det(A)=\sum_{j=1}^{n} a_{ij}C_{ij}=\sum_{j=1}^{n} a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}.
Explicando em termos simples: multiplica-se cada elemento a_{ij} da linha escolhida pelo cofator correspondente e soma-se tudo. O sinal alterna conforme (-1)^{i+j}.

Passo 3

Escolha da linha para expandir: é conveniente escolher uma linha (ou coluna) com muitos zeros para simplificar contas. A segunda linha tem dois zeros ( a_{21}=0 e a_{23}=0), então vou expandir por essa linha. Assim
\det(A)=a_{21}C_{21}+a_{22}C_{22}+a_{23}C_{23}+a_{24}C_{24}.
Como a_{21}=0 e a_{23}=0, restam apenas os termos com j=2 e j=4:
\det(A)=a_{22}C_{22}+a_{24}C_{24}.
Aqui a_{22}=2 e a_{24}=1. Agora vamos calcular C_{22} e C_{24} passo a passo.

Passo 4

Cálculo do menor M_{22} (remover linha 2 e coluna 2):
A matriz 3\times3 obtida é
M^{(22)}=\begin{pmatrix} 3 & 5 & 0 \\\\ 2 & -1 & 3 \\\\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix},
ou seja, peguei esses valores removendo explicitamente a linha 2 e a coluna 2 da matriz original. Agora calculo o determinante desse 3\times3. Para um 3\times3
\det\begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{pmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi.
Aplicando com a=3, b=5, c=0, d=2, e=-1, f=3, g=1, h=2, i=0:
  • aei = 3\cdot(-1)\cdot 0 = 0.
  • bfg = 5\cdot 3\cdot 1 = 15.
  • cdh = 0\cdot 2\cdot 2 = 0.
    Soma positiva: 0+15+0=15.
  • ceg = 0\cdot(-1)\cdot 1 = 0.
  • afh = 3\cdot 3\cdot 2 = 18.
  • bdi = 5\cdot 2\cdot 0 = 0.
    Soma negativa: 0+18+0=18.
    Portanto
M_{22}=\det(M^{(22)})=15-18=-3.

Passo 5

Cálculo do cofator C_{22}:
C_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=(-1)^{4}\cdot(-3)=1\cdot(-3)=-3.
Contribuição ao determinante vinda desse termo:
a_{22}C_{22}=2\cdot(-3)=-6.

Passo 6

Cálculo do menor M_{24} (remover linha 2 e coluna 4):
A matriz 3\times3 obtida é
M^{(24)}=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 5 \\\\ 2 & 0 & -1 \\\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix},
ou seja, peguei esses valores removendo a linha 2 e a coluna 4 da matriz original. Vou calcular seu determinante usando a mesma fórmula para 3\times3. Aqui a=3, b=-1, c=5, d=2, e=0, f=-1, g=1, h=1, i=2.
  • aei = 3\cdot 0\cdot 2 = 0.
  • bfg = (-1)\cdot(-1)\cdot 1 = 1.
  • cdh = 5\cdot 2\cdot 1 = 10.
    Soma positiva: 0+1+10=11.
  • ceg = 5\cdot 0\cdot 1 = 0.
  • afh = 3\cdot(-1)\cdot 1 = -3.
  • bdi = (-1)\cdot 2\cdot 2 = -4.
    Soma negativa: 0+(-3)+(-4)=-7.
    Portanto
M_{24}=\det(M^{(24)})=11-(-7)=18.

Passo 7

Cálculo do cofator C_{24}:
C_{24}=(-1)^{2+4}M_{24}=(-1)^{6}\cdot 18=1\cdot 18=18.
Contribuição ao determinante vinda desse termo:
a_{24}C_{24}=1\cdot 18=18.

Passo 8

Somando as contribuições dos cofatores ao longo da segunda linha:
\det(A)=a_{22}C_{22}+a_{24}C_{24}=(-6)+18=12.
Portanto o determinante da matriz A é 12.

Resposta

\det(A)=12

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