Exercício 1) Calcule as diferenciais de cada uma das funções dadas abaixo:
w=e^x y^2 z^3.

Passo 1

O enunciado pede a diferencial total de
w = e^x,y^2,z^3
O conteúdo aqui é derivada parcial e diferencial total de função de três variáveis. Vamos precisar calcular partial w/partial x, partial w/partial y e partial w/partial z.

Passo 2

Calcular partial w/partial x. Tratando y e z como constantes, a derivada de e^x é e^x, logo
partial wpartial x = e^x,y^2,z^3

Passo 3

Calcular partial w/partial y. Aqui x e z são constantes e a derivada de y^2 é 2y, daí
partial wpartial y = e^xcdot 2y cdot z^3 = 2,e^x,y,z^3

Passo 4

Calcular partial w/partial z. Agora x e y são constantes e a derivada de z^3 é 3z^2, logo
partial wpartial z = e^x,y^2cdot 3z^2 = 3,e^x,y^2,z^2

Passo 5

Escrever a diferencial total usando
dw = partial wpartial x,dx + partial wpartial y,dy + partial wpartial z,dz,
e substituir os resultados obtidos:
dw = e^xy^2z^3,dx ;+; 2,e^xy,z^3,dy ;+; 3,e^xy^2z^2,dz

Resposta

dw = e^xy^2z^3,dx + 2,e^xy,z^3,dy + 3,e^xy^2z^2,dz

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