Use transformada de Laplace para determinar a solução dos Problemas de Valor Inicial (PVI):
PVI: y^prime prime(t)-4 y(t) & =sen 3 t y(0) & =0 y^prime(0) & =0

Passo 1

O problema pede para resolver o PVI
y''(t)-4,y(t)=sin(3t), y(0)=0, y'(0)=0
usando transformada de Laplace. Vamos usar as propriedades
  1. Ly''(t)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0),
  2. Lsin(3t)=3s^2+9.

Passo 2

Aplicando Laplace em cada termo da equação diferencial, obtemos
Ly''-4,Ly=Lsin(3t)
l(s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)r)-4Y(s)=3s^2+9
Como y(0)=0 e y'(0)=0, isto vira
s^2Y(s)-4Y(s)=3s^2+9 Longrightarrow Y(s),(s^2-4)=3s^2+9
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Y(s)=3(s^2-4)(s^2+9)

Passo 3

Fazemos frações parciais em
3(s-2)(s+2)(s^2+9) =As-2+Bs+2+Cs+Ds^2+9
Analisando coeficientes, encontra-se
A=352, B=-352, C=0, D=-313
Portanto
Y(s) =352,1s-2 -352,1s+2 -3/13s^2+9

Passo 4

Invertendo cada termo:
L^-1!ltfrac1s-2r=e^2t, L^-1!ltfrac1s+2r=e^-2t, L^-1!ltfrac1s^2+9r=tfrac13sin(3t)
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y(t) =352l(e^2t-e^-2tr) -313cdot13sin(3t) =352l(e^2t-e^-2tr) -113sin(3t)

Resposta

boxedy(t)=352l(e^2t-e^-2tr);-;113,sin(3t)

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