Use transformada de Laplace para determinar a solução dos Problemas de Valor Inicial (PVI):
PVI: y^prime prime(t)-y^prime(t)-6 y(t) & =0 y(0) & =2 y^prime(0) & =-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y''(t)-y'(t)-6,y(t)=0, y(0)=2, y'(0)=-1
usando transformada de Laplace. Vamos usar as fórmulas
Ly'(t)=sY(s)-y(0) e
Ly''(t)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0),
onde Y(s)=Ly(t).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace na equação diferencial, obtemos
l(s^2Y(s)-scdot2-(-1)r);-;l(sY(s)-2r);-;6,Y(s);=;0
Agrupando termos em Y(s) e constantes:
(s^2 - s - 6),Y(s);-;2s +1 +2 ;=;0 Longrightarrow (s^2 - s - 6),Y(s);=;2s-3
Como s^2-s-6=(s-3)(s+2), segue
Y(s)=2s-3(s-3)(s+2)

Passo 3

Fazemos frações parciais:
2s-3(s-3)(s+2) =As-3+Bs+2 Longrightarrow A(s+2)+B(s-3)=2s-3
Igualando coeficientes:
A+B=2, 2A-3B=-3,
resolve-se B=tfrac75, A=tfrac35. Portanto
Y(s)=3/5s-3+7/5s+2

Passo 4

Aplicando a transformada inversa:
y(t) =35e^3t+75e^-2t

Resposta

y(t)=35e^3t+75e^-2t

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