Exercício 9. Calcule a diferencial das funções dadas.
w=x^2+y^2+z^2x+y+z

Passo 1

O enunciado pede a diferencial total de
w = x^2+y^2+z^2x+y+z
O conteúdo envolvido é cálculo de diferencial de função de várias variáveis e vamos usar a regra do quociente em termos de diferenciais.

Passo 2

Defina
N = x^2+y^2+z^2, D = x+y+z, w = ND
Pela regra do quociente em termos de diferenciais, tem-se
dw = D,dN - N,dDD^2

Passo 3

Calcule as diferenciais de N e D:
dN = 2x,dx + 2y,dy + 2z,dz, dD = dx + dy + dz

Passo 4

Substituindo em
dw = D,dN - N,dDD^2, obtemos
dw = (x+y+z)l(2x,dx + 2y,dy + 2z,dzr) - (x^2+y^2+z^2)l(dx+dy+dzr) (x+y+z)^2
Agrupando termo a termo em dx, dy e dz, surge
dw = l[2x(x+y+z)-(x^2+y^2+z^2)r]dx + l[2y(x+y+z)-(x^2+y^2+z^2)r]dy + l[2z(x+y+z)-(x^2+y^2+z^2)r]dz (x+y+z)^2

Resposta

boxed dw = l[2x(x+y+z)-(x^2+y^2+z^2)r]dx + l[2y(x+y+z)-(x^2+y^2+z^2)r]dy + l[2z(x+y+z)-(x^2+y^2+z^2)r]dz (x+y+z)^2

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