1. integral (x^2+2 x) d xraizx^3+3 x^2+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x^2+2xraizx^3+3x^2+1,dx
O conteúdo principal aqui é reconhecer uma substituição que simplifique a raiz no denominador.

Passo 2

Observe que a expressão dentro da raiz é
x^3+3x^2+1
Se definirmos
u = x^3+3x^2+1,
então sua diferencial é
du = (3x^2+6x),dx = 3,(x^2+2x),dx

Passo 3

Da relação acima temos
(x^2+2x),dx = du3
Substituindo na integral original, obtemos
integral x^2+2xraizx^3+3x^2+1,dx = integral 1raizucdotdu3 = 13integral u^-tfrac12,du

Passo 4

Agora integramos em u:
integral u^-tfrac12,du = 2,u^tfrac12+C
Multiplicando pelo fator tfrac13, fica
13cdot 2,u^tfrac12 = 23,u^tfrac12+C

Passo 5

Voltando à variável original x, lembramos que u = x^3+3x^2+1. Logo a antiderivada final é
23raizx^3+3x^2+1+C

Resposta

23raizx^3+3x^2+1+C

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