Exercício 6. Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:
f(x, y)=x raizx^2+y^2, P(1,1)

Passo 1

O enunciado pede o vetor gradiente da função
f(x,y) = xraizx^2 + y^2
no ponto P(1,1).
Conteúdo: gradiente de função escalar em R^2, que se obtém calculando as derivadas parciais fx e fy. Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Lembrando que o vetor gradiente é definido por
nabla f(x,y) = l(fx(x,y),,fy(x,y)r),
onde
fx(x,y)=partialpartial xl[xraizx^2+y^2r], fy(x,y)=partialpartial yl[xraizx^2+y^2r]

Passo 3

Cálculo de fx pela regra do produto:
fx = 1cdotraizx^2+y^2 + xcdot12(x^2+y^2)^-tfrac12cdot 2x = raizx^2+y^2 + x^2raizx^2+y^2 = 2x^2 + y^2raizx^2+y^2

Passo 4

Cálculo de fy usando a regra da cadeia (note que x é tratado como constante):
fy = xcdot12(x^2+y^2)^-tfrac12cdot 2y = x,yraizx^2+y^2

Passo 5

Agora avaliamos em P(1,1). Primeiro raiz1^2+1^2=raiz2. Então
fx(1,1) = 2cdot1^2 + 1^2raiz2 = 3raiz2, fy(1,1) = 1cdot1raiz2 = 1raiz2

Resposta

nabla f(1,1) = gl(3raiz2,,1raiz2gr)

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