Exercício 4. Determine as derivadas parciais partial zpartial u e partial zpartial v, utilizando a regra da cadeia.
z=x y-y^2+2, x=u^2+v^2, y=u-v+u v

Passo 1

O enunciado define
z = x,y - y^2 + 2
com
x = u^2 + v^2 e y = u - v + u,v.
Queremos encontrar partial zpartial u e partial zpartial v usando a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de z em relação às variáveis intermediárias x e y:
partial zpartial x = partialpartial xl(x,y - y^2 + 2r) = y,
partial zpartial y = partialpartial yl(x,y - y^2 + 2r) = x - 2y

Passo 3

Em seguida, obtemos as derivadas parciais de x e y em relação a u e a v:
partial xpartial u = partialpartial ul(u^2+v^2r) = 2u, partial xpartial v = 2v,
partial ypartial u = partialpartial ul(u - v + u,vr) = 1 + v, partial ypartial v = partialpartial vl(u - v + u,vr) = -1 + u

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
partial zpartial u = partial zpartial x,partial xpartial u + partial zpartial y,partial ypartial u = ycdot 2u + (x - 2y)cdot(1 + v),
partial zpartial v = partial zpartial x,partial xpartial v + partial zpartial y,partial ypartial v = ycdot 2v + (x - 2y)cdot(u - 1)

Resposta

partial zpartial u = 2u,y + (x - 2y),(1 + v), partial zpartial v = 2v,y + (x - 2y),(u - 1),
onde x = u^2+v^2 e y = u - v + u,v.

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