Exercício 6. Calcule a equação da reta tangente às seguintes funções nos pontos indicados:
f(x)=\frac{\sin (x)}{x} em x_{0}=\frac{\pi}{2}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a equação da reta tangente à função f no ponto indicado. Informações dadas:
f(x)=\frac{\sin(x)}{x},
o ponto onde queremos a tangente é x_{0}=\frac{\pi}{2}.
Ou seja, precisamos encontrar a reta que toca o gráfico de f em x=\frac{\pi}{2} e tem a mesma inclinação que a curva nesse ponto.

Passo 2

Para construir a reta tangente precisamos de duas coisas: o ponto de tangência (x_{0},f(x_{0})) e a inclinação (coeficiente angular), que é a derivada f'(x_{0}). A forma ponto-inclinação da reta é
y-f(x_{0})=f'(x_{0})\bigl(x-x_{0}\bigr).
Explicando calmamente: f(x_{0}) é o valor da função no ponto; f'(x_{0}) é a taxa de variação instantânea da função ali — a inclinação da reta tangente.

Passo 3

Calculando o valor da função no ponto x_{0}=\frac{\pi}{2}. Substituímos:
f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)}{\frac{\pi}{2}}.
Sabemos que \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1. Portanto
f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{\frac{\pi}{2}}=\frac{2}{\pi}.
Então o ponto de tangência é \left(\frac{\pi}{2},\frac{2}{\pi}\right).

Passo 4

Agora precisamos da derivada f'(x). Vou usar a regra do produto escrevendo f(x)=\sin(x)\cdot x^{-1}. A regra do produto diz que, se u(x) e v(x) são funções, (u\cdot v)'=u'\,v+u\,v'. Tomamos
u(x)=\sin(x),\qquad v(x)=x^{-1}.
Derivadas básicas usadas aqui:
u'(x)=\cos(x),
e, pela regra do potência, se v(x)=x^{n} então v'(x)=n x^{n-1}. Aplicando com n=-1,
v'(x)=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}.
Aplicando a regra do produto:
f'(x)=\cos(x)\cdot x^{-1}+\sin(x)\cdot\bigl(-x^{-2}\bigr).
Simplificando,
f'(x)=\frac{\cos(x)}{x}-\frac{\sin(x)}{x^{2}}.

Passo 5

Vamos avaliar f'(x) em x_{0}=\frac{\pi}{2}. Substituindo:
f'\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)}{\frac{\pi}{2}}-\frac{\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)}{\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}}.
Sabemos que \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 e \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1. Então o primeiro termo some e fica
f'\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0-\frac{1}{\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}}=-\frac{1}{\frac{\pi^{2}}{4}}.
Invertendo a fração,
f'\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{4}{\pi^{2}}.
Esse é o coeficiente angular da reta tangente.

Passo 6

Agora formamos a equação da reta na forma ponto-inclinação usando x_{0}=\frac{\pi}{2}, f(x_{0})=\frac{2}{\pi} e f'(x_{0})=-\frac{4}{\pi^{2}}:
y-\frac{2}{\pi}=-\frac{4}{\pi^{2}}\Bigl(x-\frac{\pi}{2}\Bigr).
Se você preferir a forma reduzida y=mx+b, podemos expandir e achar o intercepto b. Expandindo:
y=-\frac{4}{\pi^{2}}x+\frac{4}{\pi^{2}}\cdot\frac{\pi}{2}+\frac{2}{\pi}.
Calculando \frac{4}{\pi^{2}}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{2}{\pi}, somando com \frac{2}{\pi} obtemos \frac{4}{\pi}. Logo a forma reduzida é
y=-\frac{4}{\pi^{2}}x+\frac{4}{\pi}.

Resposta

y-\dfrac{2}{\pi}=-\dfrac{4}{\pi^{2}}\Bigl(x-\dfrac{\pi}{2}\Bigr) \
y=-\dfrac{4}{\pi^{2}}x+\dfrac{4}{\pi}

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