Exercício 6. Calcule a equação da reta tangente às seguintes funções nos pontos indicados:
em
Passo 1
O enunciado pede: calcular a equação da reta tangente à função
no ponto indicado. Informações dadas:
o ponto onde queremos a tangente é
.
Ou seja, precisamos encontrar a reta que toca o gráfico de em
e tem a mesma inclinação que a curva nesse ponto.
Ou seja, precisamos encontrar a reta que toca o gráfico de
Passo 2
Para construir a reta tangente precisamos de duas coisas: o ponto de tangência
e a inclinação (coeficiente angular), que é a derivada
. A forma ponto-inclinação da reta é
Explicando calmamente:
é o valor da função no ponto;
é a taxa de variação instantânea da função ali — a inclinação da reta tangente.
Passo 3
Calculando o valor da função no ponto
. Substituímos:
Sabemos que
. Portanto
Então o ponto de tangência é
.
Passo 4
Agora precisamos da derivada
. Vou usar a regra do produto escrevendo
. A regra do produto diz que, se
e
são funções,
. Tomamos
Derivadas básicas usadas aqui:
e, pela regra do potência, se
então
. Aplicando com
,
Aplicando a regra do produto:
Simplificando,
Passo 5
Vamos avaliar
em
. Substituindo:
Sabemos que
e
. Então o primeiro termo some e fica
Invertendo a fração,
Esse é o coeficiente angular da reta tangente.
Passo 6
Agora formamos a equação da reta na forma ponto-inclinação usando
,
e
:
Se você preferir a forma reduzida
, podemos expandir e achar o intercepto
. Expandindo:
Calculando
, somando com
obtemos
. Logo a forma reduzida é