Exercício 6. Calcule a equação da reta tangente às seguintes funções nos pontos indicados:
f(x)=e^{2 x} em x_{0}=0

Passo 1

O enunciado pede: "Calcule a equação da reta tangente à função f(x)=e^{2x} no ponto indicado x_{0}=0".\n
Informações dadas:
  • A função é f(x)=e^{2x}.
  • O ponto onde queremos a tangente é dado por x_{0}=0.
  • Precisamos fornecer a equação da reta tangente nesse ponto (ou seja, a reta que toca a curva em x_{0} com a mesma inclinação que a curva nesse ponto).

Passo 2

Entendendo o que é a reta tangente — formulação prática para a prova:\n
A reta tangente a uma curva em um ponto (x_{0},y_{0}) tem a forma “ponto-declive” (fórmula ponto-inclinação):
y - y_{0} = m\,(x - x_{0})
onde:
  • y_{0} é o valor da função no ponto, isto é y_{0}=f(x_{0}),
  • m é a inclinação (declive) da reta, que é o valor da derivada da função em x_{0}, isto é m=f'(x_{0}).\n
    Portanto, para encontrar a reta tangente precisamos de dois pedaços: o ponto (x_{0},y_{0}) e a derivada f'(x_{0}).

Passo 3

Calcular o ponto (x_{0},y_{0}):\n
Temos x_{0}=0. Então calculamos y_{0}=f(0).\n
Como f(x)=e^{2x}, substituindo x=0 obtemos:
y_{0}=f(0)=e^{2\cdot 0}=e^{0}.
Lembrando que e^{0}=1, então
y_{0}=1.
Logo o ponto onde a reta tangente toca a curva é (0,1).

Passo 4

Calcular a derivada f'(x) — regra e explicação didática:\n
Precisamos saber como derivar uma exponencial composta f(x)=e^{u(x)}. A regra é:
  • A derivada de e^{u(x)} em relação a x é u'(x)\,e^{u(x)}.
    Isto é, primeiro derivamos o expoente u(x) (isso é a chamada “regra da cadeia”) e multiplicamos pelo próprio e^{u(x)}.\n
    No nosso caso u(x)=2x. Então u'(x)=2. Aplicando a regra:
f'(x)=\bigl(e^{u(x)}\bigr)'=u'(x)\,e^{u(x)}=2\,e^{2x}.
Explicando em palavras: a função cresce como uma exponencial e o fator 2 aparece porque o expoente cresce duas vezes mais rápido (derivada de 2x é 2).

Passo 5

Calcular a inclinação no ponto x_{0}=0:\n
Usamos f'(x)=2\,e^{2x}. Substituindo x=0:
m=f'(0)=2\,e^{2\cdot 0}=2\,e^{0}.
Como e^{0}=1, obtemos
m=2.
Portanto a inclinação da tangente no ponto é 2.

Passo 6

Montar a equação da reta tangente usando a fórmula ponto-inclinação:\n
Temos x_{0}=0, y_{0}=1 e m=2. Substituindo em
y-y_{0}=m\,(x-x_{0})
obtemos
y-1=2\,(x-0).
Simplificando,
y-1=2x
e finalmente
y=2x+1.

Resposta

y=2x+1

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