Exercício 6. Calcule a equação da reta tangente às seguintes funções nos pontos indicados:
em
Passo 1
O enunciado pede: "Calcule a equação da reta tangente à função
no ponto indicado
".\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde queremos a tangente é dado por
. - Precisamos fornecer a equação da reta tangente nesse ponto (ou seja, a reta que toca a curva em
com a mesma inclinação que a curva nesse ponto).
Passo 2
Entendendo o que é a reta tangente — formulação prática para a prova:\n
A reta tangente a uma curva em um ponto tem a forma “ponto-declive” (fórmula ponto-inclinação):
A reta tangente a uma curva em um ponto
onde:
-
é o valor da função no ponto, isto é , -
é a inclinação (declive) da reta, que é o valor da derivada da função em , isto é .\n
Portanto, para encontrar a reta tangente precisamos de dois pedaços: o pontoe a derivada .
Passo 3
Calcular o ponto
:\n
Temos . Então calculamos
.\n
Como , substituindo
obtemos:
Temos
Como
Lembrando que
, então
Logo o ponto onde a reta tangente toca a curva é
.
Passo 4
Calcular a derivada
— regra e explicação didática:\n
Precisamos saber como derivar uma exponencial composta . A regra é:
Precisamos saber como derivar uma exponencial composta
- A derivada de
em relação a é .
Isto é, primeiro derivamos o expoente(isso é a chamada “regra da cadeia”) e multiplicamos pelo próprio .\n
No nosso caso. Então . Aplicando a regra:
Explicando em palavras: a função cresce como uma exponencial e o fator
aparece porque o expoente cresce duas vezes mais rápido (derivada de
é
).
Passo 5
Calcular a inclinação no ponto
:\n
Usamos . Substituindo
:
Usamos
Como
, obtemos
Portanto a inclinação da tangente no ponto é
.
Passo 6
Montar a equação da reta tangente usando a fórmula ponto-inclinação:\n
Temos ,
e
. Substituindo em
Temos
obtemos
Simplificando,
e finalmente