Exercício 5. Calcule a equação da reta tangente às seguintes funções racionais nos pontos indicados:
f(x)=\frac{2 x+3}{x^{2}+1} em x_{0}=0

Passo 1

O enunciado pede: “Calcule a equação da reta tangente à função \,f(x)=\dfrac{2x+3}{x^{2}+1}\, no ponto indicado \,x_{0}=0.”
Informações dadas e o que se pede:
  • Função: \,f(x)=\dfrac{2x+3}{x^{2}+1}\,.
  • Ponto de tangência dado pela abscissa: \,x_{0}=0.
  • Queremos a equação da reta tangente a f em x_{0}, ou seja, a reta que toca o gráfico em x_{0} e tem a mesma inclinação que f nesse ponto.

Passo 2

Conceito necessário (explicado devagar): a equação da reta tangente a uma função f no ponto x_{0} vem da fórmula da reta em forma ponto-inclinação. Se f é derivável em x_{0}, a reta tangente é
y = f(x_{0}) + f'(x_{0})\,(x - x_{0}).
Aqui f(x_{0}) é a ordenada do ponto de tangência e f'(x_{0}) é o coeficiente angular (a inclinação) da reta tangente. Eu vou calcular primeiro f(x_{0}) e depois f'(x_{0}).

Passo 3

Calcular o ponto no gráfico (avaliar f em x_{0}=0). Substituo x=0 em f(x):
f(0)=\frac{2\cdot 0 + 3}{0^{2}+1}=\frac{3}{1}=3.
Portanto o ponto de tangência é (0,3).

Passo 4

Conceito necessário (derivada de quociente): para derivar uma função na forma \,f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}\, usamos a regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{v(x)^{2}}.
Aqui u(x) é o numerador e v(x) o denominador. Vou identificar u e v na nossa função.

Passo 5

Identificação e derivadas das partes: tomo
u(x)=2x+3,\qquad v(x)=x^{2}+1.
As derivadas são
u'(x)=2,\qquad v'(x)=2x.

Passo 6

Aplicar a regra do quociente passo a passo:
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{v(x)^{2}} =\frac{2\,(x^{2}+1)-(2x+3)\,(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}.
Agora eu simplifico o numerador:
Calculo 2\,(x^{2}+1)=2x^{2}+2 e (2x+3)\,(2x)=4x^{2}+6x. Então
\text{numerador}=2x^{2}+2-(4x^{2}+6x)=2x^{2}+2-4x^{2}-6x=-2x^{2}-6x+2.
Portanto
f'(x)=\frac{-2x^{2}-6x+2}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 7

Avaliar a derivada em x_{0}=0 para obter a inclinação da reta tangente:
Substituindo x=0 na expressão de f'(x),
f'(0)=\frac{-2\cdot 0^{2}-6\cdot 0+2}{(0^{2}+1)^{2}}=\frac{2}{1}=2.
Então a inclinação (coeficiente angular) da tangente em x_{0}=0 é 2.

Passo 8

Montar a equação da reta tangente usando a fórmula do Passo 2: x_{0}=0, f(0)=3 e f'(0)=2. Substituindo,
y = f(0) + f'(0)\,(x-0) = 3 + 2(x-0).
Simplificando,
y = 2x + 3.

Resposta

y=2x+3

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