Exercício 5. Calcule a equação da reta tangente às seguintes funções racionais nos pontos indicados:
em
Passo 1
O enunciado pede: “Calcule a equação da reta tangente à função
no ponto indicado
.”
Informações dadas e o que se pede:
Informações dadas e o que se pede:
- Função:
. - Ponto de tangência dado pela abscissa:
. - Queremos a equação da reta tangente a
em , ou seja, a reta que toca o gráfico em e tem a mesma inclinação que nesse ponto.
Passo 2
Conceito necessário (explicado devagar): a equação da reta tangente a uma função
no ponto
vem da fórmula da reta em forma ponto-inclinação. Se
é derivável em
, a reta tangente é
Aqui
é a ordenada do ponto de tangência e
é o coeficiente angular (a inclinação) da reta tangente. Eu vou calcular primeiro
e depois
.
Passo 3
Calcular o ponto no gráfico (avaliar
em
). Substituo
em
:
Portanto o ponto de tangência é
.
Passo 4
Conceito necessário (derivada de quociente): para derivar uma função na forma
usamos a regra do quociente:
Aqui
é o numerador e
o denominador. Vou identificar
e
na nossa função.
Passo 5
Identificação e derivadas das partes: tomo
As derivadas são
Passo 6
Aplicar a regra do quociente passo a passo:
Agora eu simplifico o numerador:
Calculo e
. Então
Calculo
Portanto
Passo 7
Avaliar a derivada em
para obter a inclinação da reta tangente:
Substituindo na expressão de
,
Substituindo
Então a inclinação (coeficiente angular) da tangente em
é
.
Passo 8
Montar a equação da reta tangente usando a fórmula do Passo 2:
,
e
. Substituindo,
Simplificando,