Exercício 5. Calcule a equação da reta tangente às seguintes funções racionais nos pontos indicados:
f(x)=\frac{x^{2}+1}{x-2} em x_{0}=3

Passo 1

O enunciado dá a função racional f(x)=\frac{x^{2}+1}{x-2} e pede a equação da reta tangente a essa função no ponto cujo x é x_{0}=3.
Informações fornecidas:
f(x)=\frac{x^{2}+1}{x-2},\qquad x_{0}=3.
O que precisamos encontrar: a equação da reta tangente a f no ponto de abscissa x_{0}=3.

Passo 2

Fórmula da reta tangente: a reta tangente a uma curva y=f(x) no ponto x=x_{0} tem equação no formato ponto-inclinação
y-f(x_{0})=f'(x_{0})\,(x-x_{0}).
Aqui f(x_{0}) é a ordenada do ponto de tangência e f'(x_{0}) é a inclinação (o coeficiente angular) da reta tangente. Portanto precisamos de dois valores: f(3) e f'(3).

Passo 3

Calcular f(3). Substituímos x=3 em f(x):
f(3)=\frac{3^{2}+1}{3-2}=\frac{9+1}{1}=\frac{10}{1}=10.
Logo o ponto de tangência é (3,10).

Passo 4

Escolher método para obter f'(x). Uma via é usar a regra do quociente; outra, mais simples aqui, é fazer a divisão polinomial de x^{2}+1 por x-2 para simplificar f(x). Vamos dividir:
\frac{x^{2}+1}{x-2}=x+2+\frac{5}{x-2}.
Explicando a divisão passo a passo: x^{2} dividido por x x; multiplica-se (x-2)\cdot x=x^{2}-2x; subtrai-se e sobra 2x+1. Em seguida 2x dividido por x 2; multiplica-se (x-2)\cdot 2=2x-4; subtrai-se e sobra 5. Portanto o quociente é x+2 e o resto 5, ou seja f(x)=x+2+5/(x-2).

Passo 5

Derivar f(x) usando a forma simplificada. Primeiro anoto a forma:
f(x)=x+2+5(x-2)^{-1}.
Regras usadas:
  • Regra do poder: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}.
  • Derivada de constante é 0.
  • Regra da cadeia: a derivada de g(h(x)) é g'(h(x))\cdot h'(x). Aqui a função interior é x-2 e a derivada dessa interior é 1.
Aplicando:
\frac{d}{dx}[x]=1,\qquad \frac{d}{dx}[2]=0,
\frac{d}{dx}\big[5(x-2)^{-1}\big]=5\cdot(-1)(x-2)^{-2}\cdot 1=-\frac{5}{(x-2)^{2}}.
Portanto
f'(x)=1-\frac{5}{(x-2)^{2}}.

Passo 6

Avaliar f'(x) em x_{0}=3:
f'(3)=1-\frac{5}{(3-2)^{2}}=1-\frac{5}{1^{2}}=1-5=-4.
Portanto a inclinação da reta tangente em x=3 é m=-4.

Passo 7

Montar a equação da reta tangente usando a fórmula do Passo 2 com f(3)=10 e f'(3)=-4:
y-10=-4(x-3).
Agora simplifico para a forma y=mx+b:
y-10=-4x+12\quad\Rightarrow\quad y=-4x+12+10,
y=-4x+22.

Resposta

y=-4x+22

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