Exercício 5. Calcule a equação da reta tangente às seguintes funções racionais nos pontos indicados:
em
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede a equação da reta tangente a essa função no ponto cujo
é
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
O que precisamos encontrar: a equação da reta tangente a
no ponto de abscissa
.
Passo 2
Fórmula da reta tangente: a reta tangente a uma curva
no ponto
tem equação no formato ponto-inclinação
Aqui
é a ordenada do ponto de tangência e
é a inclinação (o coeficiente angular) da reta tangente. Portanto precisamos de dois valores:
e
.
Passo 3
Calcular
. Substituímos
em
:
Logo o ponto de tangência é
.
Passo 4
Escolher método para obter
. Uma via é usar a regra do quociente; outra, mais simples aqui, é fazer a divisão polinomial de
por
para simplificar
. Vamos dividir:
Explicando a divisão passo a passo:
dividido por
dá
; multiplica-se
; subtrai-se e sobra
. Em seguida
dividido por
dá
; multiplica-se
; subtrai-se e sobra
. Portanto o quociente é
e o resto
, ou seja
.
Passo 5
Derivar
usando a forma simplificada. Primeiro anoto a forma:
Regras usadas:
- Regra do poder: a derivada de
é . - Derivada de constante é
. - Regra da cadeia: a derivada de
é . Aqui a função interior é e a derivada dessa interior é .
Aplicando:
Portanto
Passo 6
Avaliar
em
:
Portanto a inclinação da reta tangente em
é
.
Passo 7
Montar a equação da reta tangente usando a fórmula do Passo 2 com
e
:
Agora simplifico para a forma
: