Exercício 5. Calcule a equação da reta tangente às seguintes funções racionais nos pontos indicados:
f(x)=\frac{x^{3}-1}{x^{2}+1} em x_{0}=1

Passo 1

O enunciado dá a função racional \displaystyle f(x)=\frac{x^{3}-1}{x^{2}+1} e pede a equação da reta tangente a essa função no ponto indicado x_{0}=1.\n
Informações relevantes fornecidas:
\displaystyle f(x)=\frac{x^{3}-1}{x^{2}+1}.
\displaystyle x_{0}=1.\n
O que precisamos encontrar: a equação da reta tangente em x_{0}=1, ou seja, a reta que toca o gráfico de f em (1,f(1)) com inclinação igual à derivada f'(1).

Passo 2

Lembrete prático (fórmula da reta tangente): a reta tangente a uma função f no ponto x_{0} tem equação
y = f(x_{0}) + f'(x_{0})\,(x - x_{0}).
Aqui f(x_{0}) é a ordenada do ponto de tangência e f'(x_{0}) é o coeficiente angular (a inclinação) da reta. Exemplo rápido para entender: se f(x)=x^{2} e x_{0}=2, então f(2)=4 e f'(x)=2x logo f'(2)=4, e a reta tangente é y=4+4(x-2)=4x-4.

Passo 3

Para usar a fórmula precisamos de f(1) e de f'(1). Primeiro vamos calcular a derivada f'(x). Como f é um quociente de duas funções, usamos a regra do quociente: se \displaystyle g(x)=\frac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq0, então
g'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u(x) é o numerador e v(x) é o denominador. Cada apóstrofo indica derivada em relação a x. Ex.: se u(x)=x^{2} então u'(x)=2x.

Passo 4

Identificamos u(x)=x^{3}-1 e v(x)=x^{2}+1. Calculamos suas derivadas:
u'(x)=3x^{2},\qquad v'(x)=2x.
Aplicando a regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{(3x^{2})(x^{2}+1)-(x^{3}-1)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 5

Agora expandimos e simplificamos o numerador passo a passo:
(3x^{2})(x^{2}+1)=3x^{4}+3x^{2},
(x^{3}-1)(2x)=2x^{4}-2x.
Subtraindo segundo termo do primeiro:
3x^{4}+3x^{2}-(2x^{4}-2x)= (3x^{4}-2x^{4})+3x^{2}+2x = x^{4}+3x^{2}+2x.
Portanto
f'(x)=\frac{x^{4}+3x^{2}+2x}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 6

Calculamos f(1):
f(1)=\frac{1^{3}-1}{1^{2}+1}=\frac{0}{2}=0.
Logo o ponto de tangência é (1,0).

Passo 7

Calculamos f'(1) substituindo x=1 na expressão da derivada:
\text{numerador}=1^{4}+3\cdot1^{2}+2\cdot1=1+3+2=6,
\text{denominador}=(1^{2}+1)^{2}=(1+1)^{2}=2^{2}=4.
Portanto
f'(1)=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}.

Passo 8

Usamos a fórmula da reta tangente com f(1)=0, f'(1)=\dfrac{3}{2} e x_{0}=1:
y = f(1) + f'(1)\,(x-1) = 0 + \frac{3}{2}\,(x-1).
Desenvolvendo:
y = \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}.

Resposta

y=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}

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