Exercício 5. Calcule a equação da reta tangente às seguintes funções racionais nos pontos indicados:
em
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede a equação da reta tangente a essa função no ponto indicado
.\n
Informações relevantes fornecidas:
.
.\n
O que precisamos encontrar: a equação da reta tangente em , ou seja, a reta que toca o gráfico de
em
com inclinação igual à derivada
.
Informações relevantes fornecidas:
O que precisamos encontrar: a equação da reta tangente em
Passo 2
Lembrete prático (fórmula da reta tangente): a reta tangente a uma função
no ponto
tem equação
Aqui
é a ordenada do ponto de tangência e
é o coeficiente angular (a inclinação) da reta. Exemplo rápido para entender: se
e
, então
e
logo
, e a reta tangente é
.
Passo 3
Para usar a fórmula precisamos de
e de
. Primeiro vamos calcular a derivada
. Como
é um quociente de duas funções, usamos a regra do quociente: se
com
, então
Aqui
é o numerador e
é o denominador. Cada apóstrofo indica derivada em relação a
. Ex.: se
então
.
Passo 4
Identificamos
e
. Calculamos suas derivadas:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 5
Agora expandimos e simplificamos o numerador passo a passo:
Subtraindo segundo termo do primeiro:
Portanto
Passo 6
Calculamos
:
Logo o ponto de tangência é
.
Passo 7
Calculamos
substituindo
na expressão da derivada:
Portanto
Passo 8
Usamos a fórmula da reta tangente com
,
e
:
Desenvolvendo: