Exercício 4: Calcule as expressões das derivadas e os seus respectivos valores nos pontos dados:
\left\{\begin{array}{l} x=\operatorname{sen} t \\\ y=\operatorname{sen} 2 t \end{array}, t \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], \frac{d y}{d x}, \text { no ponto } t=\frac{\pi}{6}\right.
\left\{\begin{array}{l} x=6 t\left(1+t^{2}\right)^{-1} \\\ y=6 t^{2}\left(1+t^{2}\right)^{-1} \end{array}, 0 \leq t \leq 1, \frac{d y}{d x}, \text { no ponto de abscissa } \frac{12}{5}\right.
\left\{\begin{array}{l} x=t+\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} t\right) \\\ y=t+\ln t \end{array}, t>0, \frac{d y}{d x}, \text { no ponto } t=8\right.
Passo 1
Temos três funções paramétricas (x(t),y(t)) e queremos calcular
\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}
em cada um dos pontos indicados. Vamos derivar x(t) e y(t) em função de t, montar a razão \frac{dy/dt}{dx/dt} e avaliar no t pedido.