1. (2,0) Resolva as seguintes inequações:
    \operatorname{sen}(x) \cdot \cos (x) \geq \frac{1}{4}, \operatorname{com} x \in[0, \pi / 2].

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\operatorname{sen}(x)\,\cos(x)\ge \tfrac14
com x\in[0,\tfrac\pi2]. Aqui vamos usar a identidade de ângulo duplo para trigonometria, além de conhecer o gráfico e as soluções de \operatorname{sen}(\theta)\ge \tfrac12.

Passo 2

Aplicamos a identidade
\operatorname{sen}(x)\,\cos(x)=\tfrac12\,\operatorname{sen}(2x),
de modo que a inequação vira
\tfrac12\,\operatorname{sen}(2x)\ge \tfrac14.
Multiplicando ambos os lados por 2 (número positivo, sem inverter sinal), obtemos
\operatorname{sen}(2x)\ge \tfrac12.

Passo 3

Como x\in[0,\tfrac\pi2], então 2x\in[0,\pi]. Na reta trigonométrica, \operatorname{sen}(\theta)\ge \tfrac12 para \theta em
\theta\in\bigl[\tfrac\pi6,\tfrac{5\pi}6\bigr]
dentro de [0,\pi]. Logo
2x\in\bigl[\tfrac\pi6,\tfrac{5\pi}6\bigr].

Passo 4

Dividindo a dupla desigualdade por 2, encontramos
x\in\bigl[\tfrac\pi{12},\tfrac{5\pi}{12}\bigr].
Verificamos que \tfrac\pi{12}\approx15^\circ e \tfrac{5\pi}{12}\approx75^\circ estão mesmo em [0,\tfrac\pi2].

Resposta

x\in\bigl[\tfrac\pi{12},\,\tfrac{5\pi}{12}\bigr].

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