Exercício 6: Considere a curva paramétrica:
\vec{r}(t)=\left(t^{2}, t^{3}\right), \quad t \in \mathbb{R} .
a) Calcule o vetor tangente unitário \mathrm{T}(\mathrm{t}).
b) Determine T(1).

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
\vec r(t)=\bigl(t^2,\;t^3\bigr)
e pede o vetor tangente unitário \mathrm T(t) e, em seguida, seu valor em t=1. Para achar \mathrm T(t) precisamos:
  1. Calcular a derivada \vec r\,'(t).
  2. Encontrar o módulo \|\vec r\,'(t)\|.
  3. Dividir \vec r\,'(t) por \|\vec r\,'(t)\|.

Passo 2

A derivada da curva em relação a t é
\vec r\,'(t) =\bigl(\frac{d}{dt}t^2,\;\frac{d}{dt}t^3\bigr) =(2t,\;3t^2).

Passo 3

O módulo de \vec r\,'(t) é
\|\vec r\,'(t)\| =\sqrt{(2t)^2 + (3t^2)^2} =\sqrt{4t^2 + 9t^4} =\sqrt{t^2\,(4+9t^2)} =|t|\sqrt{4+9t^2}.

Passo 4

O vetor tangente unitário é a normalização de \vec r\,'(t):
\mathrm T(t) =\frac{\vec r\,'(t)}{\|\vec r\,'(t)\|} =\frac{(2t,\;3t^2)}{|t|\sqrt{4+9t^2}} =\biggl(\frac{2t}{|t|\sqrt{4+9t^2}},\;\frac{3t^2}{|t|\sqrt{4+9t^2}}\biggr).
Em particular, para t\neq0 podemos escrever
\mathrm T(t) =\biggl(\frac{2}{\mathrm{sgn}(t)\sqrt{4+9t^2}},\; \frac{3t}{\mathrm{sgn}(t)\sqrt{4+9t^2}}\biggr).

Passo 5

Para obter \mathrm T(1) basta substituir t=1 em \mathrm T(t). Como 1>0, temos |1|=1 e
\|\vec r\,'(1)\|=\sqrt{4\cdot1^2+9\cdot1^4}=\sqrt{13}, \quad \vec r\,'(1)=(2,\;3).
Logo
\mathrm T(1) =\frac{(2,\,3)}{\sqrt{13}} =\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt{13}},\;\tfrac{3}{\sqrt{13}}\Bigr).

Resposta

a) \displaystyle \mathrm T(t) =\frac{(2t,\;3t^2)}{|t|\sqrt{4+9t^2}}.
b) \displaystyle \mathrm T(1) =\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt{13}},\;\tfrac{3}{\sqrt{13}}\Bigr).

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