Exercício 9. Calcule o fluxo \Phi do Campo vetorial \vec{F} através da superfície S
\vec{F}=x \vec{i}+y \vec{j}+2 z \vec{k} e S: z=1-x^{2}-y^{2} acima do plano xy e orientada com componente \vec{k} da normal positiva.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo \Phi do campo vetorial
\vec F(x,y,z) = x\,\vec i + y\,\vec j + 2z\,\vec k
através da parte da superfície paraboloide
S:\;z = 1 - x^2 - y^2
que fica acima do plano z=0, com a normal apontando para cima (componente \vec k positiva). Vamos usar a fórmula de fluxo para uma superfície dada por z=f(x,y) e depois integrar sobre a projeção D no plano xy.

Passo 2

Para uma superfície z=f(x,y) orientada para cima, o fluxo do campo \vec F=(P,Q,R) é dado por
\Phi \;=\;\iint_{D}\Bigl(-P\,f_x \;-\;Q\,f_y \;+\;R\Bigr)\,dA,
em que
D = \{(x,y)\mid x^2+y^2\le1\}
é a projeção de S no plano xy.

Passo 3

Aqui temos
f(x,y)=1 - x^2 - y^2, \quad f_x = -2x, \quad f_y = -2y,
e
P=x,\quad Q=y,\quad R=2z=2\bigl(1 - x^2 - y^2\bigr).
Logo o integrando fica
-\,P\,f_x \;-\;Q\,f_y \;+\;R = -\,x\,(-2x)\;-\;y\,(-2y)\;+\;2(1-x^2-y^2) = 2x^2+2y^2+2-2x^2-2y^2 =2.

Passo 4

Como o integrando é constante igual a 2, temos
\Phi = \iint_{D} 2\,dA.
Em coordenadas polares \bigl(x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta\bigr), dA = r\,dr\,d\theta e D é 0\le r\le1,\;0\le\theta\le2\pi. Portanto
\Phi = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}2\,r\,dr\,d\theta = 2\int_{0}^{2\pi}d\theta\;\int_{0}^{1}r\,dr = 2\cdot(2\pi)\cdot\frac{1}{2} =2\pi.

Resposta

\displaystyle \Phi = 2\pi

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