Mostre que se vec{u}=a \vec{i}+b \vec{j}+c \vec{k}, onde a, b, c são constantes, e vec{r}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}, então:
\nabla \times(\vec{u} \times \vec{r})=2 \vec{u}.

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores \vec{u}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}, com a,b,c constantes, e \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}.
Queremos calcular \nabla\times(\vec{u}\times\vec{r}).
O conteúdo é cálculo vetorial, em especial o rotacional de um produto vetorial usando identidades de operadores diferenciais.

Passo 2

Usamos a identidade vetorial para o rotacional de um produto vetorial:
\nabla \times (A \times B) = A\,(\nabla\cdot B)\;-\;B\,(\nabla\cdot A)\;+\;(B\cdot\nabla)\,A\;-\;(A\cdot\nabla)\,B.

Passo 3

Identificamos A=\vec{u} e B=\vec{r}. Como \vec{u} é constante, temos \nabla\cdot\vec{u}=0
e (\vec{r}\cdot\nabla)\vec{u}=\vec{0}.

Passo 4

Calculamos os outros termos: \nabla\cdot\vec{r} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 3, (\vec{u}\cdot\nabla)\vec{r} = \bigl(a\frac{\partial}{\partial x} + b\frac{\partial}{\partial y} + c\frac{\partial}{\partial z}\bigr)(x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}) = a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k} = \vec{u}.

Passo 5

Substituindo tudo na identidade, obtemos
\nabla\times(\vec{u}\times\vec{r}) = \vec{u}\,(3)\;-\;\vec{r}\,(0)\;+\;\vec{0}\;-\;\vec{u} = 2\,\vec{u}.

Resposta

\nabla\times(\vec{u}\times\vec{r}) = 2\,\vec{u}.

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