Mostre que se vec{u}=a \vec{i}+b \vec{j}+c \vec{k}, onde a, b, c são constantes, e vec{r}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}, então: \nabla \times(\vec{u} \times \vec{r})=2 \vec{u}.
Passo 1
O enunciado nos dá os vetores \vec{u}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}, com a,b,c constantes, e \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}.
Queremos calcular \nabla\times(\vec{u}\times\vec{r}).
O conteúdo é cálculo vetorial, em especial o rotacional de um produto vetorial usando identidades de operadores diferenciais.
Passo 2
Usamos a identidade vetorial para o rotacional de um produto vetorial:
\nabla \times (A \times B) = A\,(\nabla\cdot B)\;-\;B\,(\nabla\cdot A)\;+\;(B\cdot\nabla)\,A\;-\;(A\cdot\nabla)\,B.
Passo 3
Identificamos A=\vec{u} e B=\vec{r}. Como \vec{u} é constante, temos \nabla\cdot\vec{u}=0
e (\vec{r}\cdot\nabla)\vec{u}=\vec{0}.