Questão 3. Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule a integral
\iiint_{E} z d V
em que E é o sólido limitado pelos planos x=0, y=x e pelos paraboloides z=8-x^{2}-y^{2} e z=x^{2}+y^{2}.
Res.: Em coordenadas cilíndricas as equações do paraboloides são z=8-r^{2} e z=r^{2}. A do plano y=x é \theta=\frac{\pi}{4} e a do plano x=0 é \theta=\frac{\pi}{2}. A interseção dos paraboloides, dada por 8-r^{2}=r^{2} é o círculo r=2. Assim, E^{\prime}=\left\{\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, 0 \leq r \leq 2, r^{2} \leq z \leq 8-r^{2}\right\} é a descrição de E em coordenadas cilíndricas. Logo,
\begin{aligned} \iiint_{E} z d V & =\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2} \int_{r^{2}}^{8-r^{2}} z r d z d r d \theta \\\ & =\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2} \frac{\left(8-r^{2}\right)^{2}-\left(r^{2}\right)^{2}}{2} r d r d \theta \\\ & =\frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_{0}^{2}\left(64 r-16 r^{3}\right) d r \\\ & =\frac{\pi}{8}\left(64 \frac{2^{2}}{2}-\frac{16}{4} 2^{4}\right)=8 \pi \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral tripla
\iiint_{E} z\,dV
onde E é o sólido limitado pelas superfícies z=8-x^2-y^2, z=x^2+y^2 e pelos planos verticais x=0 e y=x. Vamos usar coordenadas cilíndricas, já que as equações envolvem x^2+y^2.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas definimos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
e o elemento de volume é dV = r\,dz\,dr\,d\theta. As superfícies viram
z = 8 - r^2 \quad\text{e}\quad z = r^2.
Os planos x=0 e y=x emcilíndricas são
r\cos\theta = 0\implies \theta = \tfrac{\pi}{2},
y = x\implies \tan\theta = 1\implies \theta = \tfrac{\pi}{4}.

Passo 3

Para achar o limite em r usamos a interseção dos paraboloides:
8 - r^2 = r^2 \quad\Longrightarrow\quad 2r^2 = 8 \quad\Longrightarrow\quad r = 2.
Logo r varia de 0 a 2 e \theta de \tfrac{\pi}{4} até \tfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Em coordenadas cilíndricas o sólido E fica descrito por
E'=\bigl\{(\,r,\theta,z)\mid \tfrac{\pi}{4}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2},\;0\le r\le2,\;r^2\le z\le8-r^2\bigr\}.

Passo 5

A integral tripla em E' é
\iiint_{E} z\,dV =\int_{\theta=\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{r=0}^{2} \int_{z=r^2}^{8-r^2} z\bigl(r\,dz\,dr\,d\theta\bigr).

Passo 6

Primeiro integramos em z e depois em r:
\int_{0}^{2}\int_{r^2}^{8-r^2}zr\,dz\,dr =\int_{0}^{2}\frac{(8-r^2)^2-(r^2)^2}{2}\,r\,dr =\frac12\int_{0}^{2}\bigl(64r-16r^3\bigr)\,dr.
Agora,
\int_{0}^{2}(64r-16r^3)\,dr =\bigl[32r^2-4r^4\bigr]_{0}^{2} =32\cdot4-4\cdot16 =128-64=64,
portanto a parte r e z vale \tfrac12\cdot64=32.

Passo 7

Por fim integramos em \theta:
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}32\,d\theta =32\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\pi}{4}\Bigr) =32\cdot\tfrac{\pi}{4} =8\pi.

Resposta

O valor da integral é 8\pi.

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