Questão 3. Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule a integral
em que
é o sólido limitado pelos planos
e pelos paraboloides
e
.
Res.: Em coordenadas cilíndricas as equações do paraboloides são
e
. A do plano
é
e a do plano
é
. A interseção dos paraboloides, dada por
é o círculo
. Assim,
é a descrição de
em coordenadas cilíndricas. Logo,
Res.: Em coordenadas cilíndricas as equações do paraboloides são
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral tripla
onde
é o sólido limitado pelas superfícies
,
e pelos planos verticais
e
. Vamos usar coordenadas cilíndricas, já que as equações envolvem
.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas definimos
e o elemento de volume é
. As superfícies viram
Os planos
e
emcilíndricas são
Passo 3
Para achar o limite em
usamos a interseção dos paraboloides:
Logo
varia de
a
e
de
até
.
Passo 4
Em coordenadas cilíndricas o sólido
fica descrito por
Passo 5
A integral tripla em
é
Passo 6
Primeiro integramos em
e depois em
:
Agora,
portanto a parte
e
vale
.
Passo 7
Por fim integramos em
:
Resposta
O valor da integral é
.